نوشته‌ها

تقریب و محاسبات تقریبی در کتاب‌های درسی ابتدایی به وفور دیده می‌شود و معلم‌های دبستان از سال دوم تا ششم با حضور این مفاهیم در زنگ‌های ریاضی آشنا هستند. در این نوشته تلاش می‌کنم نشان دهم که وقتی تقریبی محاسبه‌ می‌کنیم، ویژگی‌های عملگرها هم پررنگ می‌شود و در فرآیند یادگیری در کلاس درس باید حواس‌مان به این وجه حساب هم باشد.

ضربی که ما از کلاس سوم به بچه‌ها آموخته‌ایم، یک ویژگی خاص داشته است. پیش از این، عملوند اولِ همه‌ی ضرب‌های ما، «تعدادی» از چیزی را نشان داده است. اما در ضرب کسرها این معنا، به مشکل می‌خورد. در این نوشته تلاش می‌کنم نشان دهم بچه‌ها حق دارند معنیِ ضرب کسرها را نفهمند!

در این نوشته تلاش می‌کنم وجه دیگری از شهود بچه‌ها در مورد پدیده‌ی تصادفی را پیش بکشم. در واقع خواهم گفت عده‌ای از بچه‌ها در مواجهه با پدیده‌های تصادفی دنبال‌ِ پیدا کردنِ صورت‌هایی از نظم‌ هستند. این شهود از پدیده‌ی تصادفی باید به مرور و با برنامه در طول سال‌های دبستان ترمیم شود.

در چند سال اخیر، از روی کنجکاوی، در روزهای اولِ فصل احتمال مهمان کلاس‌های دوم و سوم شده‌ام و همراه معلم، جریان کلاس را پیش برده‌ایم. چیزی که من را در این سال‌ها کنجکاو نگه داشته، حرف‌هایی‌ست که بچه‌ها در مورد سکه و تاس و کیسه‌ی گوی و چرخنده می‌زنند.

می‌خواستم نظری درباره دو تا از نوشته‌های قبلی ثبت کنم که آنقدر طولانی شد که فکر کردم، بازاندیشی‌ام روی این نوشته‌ها را در یک نوشته بنویسم و در آن به نوشته‌های شعبده‌ی ناموفق گسترده‌نویسی در تقسیم، نوشته‌ی هوشمند حسن‌نیا و جمشید و هوشمند و پندی نوشته‌ی امیر اصغری برگردم (با تشکر از هر دو نویسنده که فرصت این بازنگری را فراهم کردند). هوشمند و رو کردن دست شعبده‌باز در نوشته‌ی شعبده‌ی ناموفق گسترده‌نویسی در تقسیم، قسمتی از کتاب درسی پایه چهارم آمده است که پیشنهاد می‌کند برای تقسیم بر عددهای یک‌رقمی، از گسترده کردن مقسوم استفاده کنیم. این پیشنهاد مبتنی بر…

روال‌های معلمی همانطور که از اسمشان برمی‌آید روال‌هایی برای همه‌ی کلاس درس هستند؛ اما خودبه‌خود روال کلاس نمی‌شوند و اگر معلمی بخواهد آن‌ها را به روال کلاسش تبدیل کند، باید برای این اتفاق تلاش و ممارست کند.

این یادداشتی نسبتاً بلند است بر آنچه از دو نوشته‌ی منتشر شده در امید ریاضی یادگرفته‌ام: جای ابزار در کجای یادگیری ریاضی است، نوشته‌ی زهره پندی و شعبده‌ی ناموفق گسترده‌نویسی در تقسیم، نوشته‌ی هوشمند حسن‌نیا. مثالی که استفاده خواهم کرد از جمشید کاشانی است.

دوستی درخواست کرد که در مجموعه‌ی «یادداشت‌های یک معلم» چیزی در مورد مبحث «دایره» در کلاس هشتم بنویسم، پذیرفتم. اولین کاری که معمولاً به عنوان یک معلم انجام می‌دهم این است که کمی کنجکاوی کنم که فرض بر این است که دانش‌آموزانم چه چیزهایی می‌دانند. نوشتم «فرض بر این است که چه می‌دانند» به جای این که فقط بنویسم «چه می‌دانند» چون می‌دانم نباید با این فرض شروع کنم که آن‌چه را که تلاش شده است به آنها یاد داده شود، حتما یادگرفته‌اند یا به آن شکلی که مورد نظر بوده است، یاد گرفته‌اند. این کنجکاوی من را به کلاس…

نوشته‌ی بازاندیشی روی جبر – فکرورزی به جای دست‌ورزی با نمادها را با این تمام کردم که یکی از نتایج بازاندیشی روی جبر دبیرستانی، فکر کردن به جبر دبستانی است! این ایده برای آموزش‌ریاضی‌کارها جدید نیست. مثلاً مقاله‌ی امیر اصغری و لیلا خسروشاهی که در ادامه می‌آید، یکی از مقاله‌های زیبایی است که در این باره دیده‌ام. اما مقاله بیش از زیبا بودن، برای مخاطبان ایرانی درخشان است؛ چرا که درباره‌ی ظرفیت کتاب‌های درسی دبستان‌های ایران برای جبرورزی صحبت کرده است. این مقاله چهار بستر مناسب برای جبرورزی در دوره‌ی ابتدایی را معرفی کرده است که می‌توان تفکر جبری را…

در نوشته‌ی بازاندیشی روی جبر- ارزش‌های ریاضی قسمت‌هایی از یک مقاله را توصیف کردم و مقاله را هم همانجا گذاشته‌ام. ایده‌ی آن مقاله‌ی سلیا هویلز و لالا هیلی بررسی مفاهیم اثبات است در جبر. در این نوشته می‌خواهم یکی دیگر از قسمت‌های همان مطالعه را توصیف کنم. به تعدادی دانش‌آموز چهارده، پانزده ساله (حدود ۲۰۰ نفر) مسئله‌ای داده شده و مانند همان قسمت قبل این بار چهار پاسخ رایج از میان پاسخ‌ها انتخاب و بازنویسی شده و به تعداد بیشتری از دانش‌آموزان (حدود ۲۵۰۰ نفر) و معلم‌های آن‌ها (۱۰۰ نفر) داده شده است تا از میان پاسخ‌ها، پاسخ نزدیک به…

یکی از اولین ایده‌هایی که به من کمک کرد که با کار آموزش‌ریاضی‌کارها آشنا شوم، دو تا مقاله‌ی زیبا از سلیا هویلز و لالا هیلی بود که هنوز هم دوستشان دارم و گاهی به آن‌ها برمی‌گردم. یکی از این مقاله‌ها درباره‌ی اثبات در جبر است که قسمتی از آن و دلیل جالب بودن این قسمت را در این نوشته آورده‌ام. در قستی از این مقاله یک مسئله به تعدادی دانش‌آموز چهارده و پانزده ساله (حدود ۲۰۰ نفر) داده شده است. مسئله این است: ثابت کنید این جمله درست است یا نادرست: «وقتی دو عدد زوج را باهم جمع می‌کنیم، حاصل…

درس امروز مشتق است از کتاب حسابان (۲). کتاب را نگاه می‌کنم، با این عنوان شروع می‌شود: خط مماس بر منحنی؛ سپس در شروع درس با روش معمول، تحت عنوان یک فعالیت، تعریف معمول شیب خط مماس و سپس مشتق ارائه می‌شود. ولی کلاس من چطور آغاز می‌شود؟

در چند سال اخیر به کررات با تجربه‌هایی در کلاس چهارم مواجه شده‌ام که معلم در آموزش تقسیم با مشکلاتی روبه‌رو بوده است. شکل مواجهه‌ی کتاب درسی با تقسیم در کلاس چهارم، نسبت به آن‌چه در زمانِ ما آموزش داده می‌شد، تغییر کرده و البته به پررنگی روشن است که ایده‌ی این تغییر تلاش داشته که تقسیم را از یک فرایند صرفاً رویه‌ای به تجربه‌ای مفهومی تبدیل کند؛ از این بابت،‌ به نظر بنده‌ کتاب گامی به جلو برداشته است. در این نوشته قصد دارم به رابطه‌ی گسترده‌نویسی عدد و تقسیم بپردازم.

یکی از قدیمی‌ترین و معروف‌ترین مساله‌های تقسیم و باقی‌مانده، مساله‌ای است که امروزه به نام قضیه‌ی باقی‌مانده‌ی چینی شناخته می‌شود. دلیل نام‌گذاری این است که اولین بار در مساله‌ای در یکی از متون ریاضی چین قدیم به آن اشاره شده است. بیان مساله خیلی ساده است: «فرض کنید چند نفر آدم داریم که وقتی در تیم‌های سه نفره‌ی گل‌کوچک بازی می‌کنند، به دو نفر تیم نمی‌رسد! وقتی در تیم‌های پنج نفره‌ی فوتسال بازی می‌کنند، به سه نفر تیم نمی‌رسد! وقتی در تیم‌های هفت‌نفره‌ی هندبال بازی می‌کنند، به دو نفر تیم نمی‌رسد! سوال این است که این گروهِ بدشانس از آدم‌ها…

جدول پویای اعداد که از آن در این نوشته استفاده کرده‌ام، یک ماشین تابع است که شما به درون آن دسترسی دارید و به همین دلیل است که ابزاری بسیار خلاق و انعطاف پذیر و با کاربرد فراوان به‌شمار می‌آید.

فکر کردم به جای این که همینطوری ناگهان در مورد چیزی بنویسم که برایم جالب است و به این امید باشم که شاید یک نفر جایی از آن استفاده کند، در مورد چیزهایی بنویسم که استفاده‌ی مستقیم‌تری دارند: کتاب‌های درسی.

ایده‌ی این نوشته این است که ما به عنوان معلم، چه بخواهیم یا نخواهیم، ارزش‌های ریاضی را با خودمان و فعالیت‌هایمان به کلاس درس می‌بریم، خوب است روی این آن‌ها تأمل کنیم و ببینیم که چه ارزش‌های پنهانی را همراه با ایده‌های ریاضی منتقل می‌کنیم. این بازاندیشی می‌تواند به ما کمک کند که سلیقه‌ی خود را بهتر بشناسیم و ببینیم که توجهمان به کدام ارزش‌ها بیشتر است و چرا.

در آموزش وقتی از آقامون استفاده می‌شود، معمولاً چندتا اسم هستند که در ادامه‌ی آن می‌آیند و یکی از آنها جروم برونر (۱۹۱۵- ۲۰۱۶) است. برای خود من وقتی شد آقامون که مقاله‌ای از او خواندم که نظریه‌اش را در مورد بازنمایی توضیح می‌داد. دلیل اهمیت نظریه‌ی بازنمایی برونر برای من، هم سادگی آن است و هم کاربردهای ملموس آن. از آن چیزهاست که هر وقت درسی می‌دهی با جلوه ای از آن بر خورد می‌کنی و با خودت می‌گویی: «ای وای برونر گفته بودها!» این نوشته هم داستان یکی از همین‌ها است. تازگی‌ها، پس از شاید سالها، چندین کارگاه…

وقتی یادگیرنده‌های ریاضیات بالاخره به جایی می‌رسند که ریاضیاتی که به آنها آموزش داده می‌شود، نیازمند استدلال است، ناگهان صدای (خاموش) آموزش‌دهنده بالا می‌رود و در دل فریاد می‌زند که «پس این بچه‌ها چی یادگرفته‌اند.» وضعیت جدا کردن استدلال از ریاضی مثل جدا کردن کشک از کشک بادمجان است. می‌شود بادمجان را خالی هم خورد، اتفاقاً با کمی نمک خوشمزه هم هست. ریاضی را هم می‌توان بدون استدلال درس داد، اتفاقاً با کمی تردستی مفرح هم است. اما نه آن بادمجان بدون کشک، کشک بادمجان است و نه این ریاضیات بدون استدلال، ریاضیات.

موارد زیادی دیده‌ایم که کودک سال‌های ابتدای دبستان با خواندن یا شنیدنِ مسئله‌ی کلامی مسیر فکری را دنبال می‌کند که باعث فرسودگی، سردرگمی یا توقف او می‌شود. مثلاً اولین مواجهه‌های کودک با مسئله‌ی «چند روباه در لانه بودند. ۳ تا دیگر هم داخل لانه رفتند و با هم شدند ۸ تا. چند روباه از ابتدا در لانه بودند؟» عموماً خالی از مشکل نیست؛ چرا که از همان ابتدا کودک نمی‌داند چند روباه در لانه بوده و ادامه‌ی کار برایش دشوار می‌شود.