دوستی درخواست کرد که در مجموعه‌ی «یادداشت‌های یک معلم» چیزی در مورد مبحث «دایره» در کلاس هشتم بنویسم، پذیرفتم. اولین کاری که معمولاً به عنوان یک معلم انجام می‌دهم این است که کمی کنجکاوی کنم که فرض بر این است که دانش‌آموزانم چه چیزهایی می‌دانند. نوشتم «فرض بر این است که چه می‌دانند» به جای این که فقط بنویسم «چه می‌دانند» چون می‌دانم نباید با این فرض شروع کنم که آن‌چه را که تلاش شده است به آنها یاد داده شود، حتما یادگرفته‌اند یا به آن شکلی که مورد نظر بوده است، یاد گرفته‌اند. این کنجکاوی من را به کلاس هفتم و سپس دوره‌ی ابتدایی و سال اول ابتدایی برگرداند؛ چرا که دایره از همان سال در آموزش رسمی کودکان ظاهر میشود و هر سال به شکلی سر و کله‌اش پیدا میشود. به همین دلیل انتظار می‌رود که به عنوان یک شی ریاضی یک داستان منسجم را در کتاب‌های درسی دنبال کند و زمان کافی برای پرداختن به آن هم وجود دارد؛ این فرصتی است که بسیاری از اشیای دیگر ریاضی از آن برخوردار نیستند. در این نوشته مروری می‌کنیم بر چگونگی استفاده از این فرصت!
دایره چیست؟
تعریف رسمی دایره این است:
«دایره، مکان هندسی نقاطی از صفحه است که از یک نقطه‌ی ثابت به یک فاصله هستند.»
این را میشود این‌طور هم گفت که دایره مجموعه همه نقاطی از صفحه است که از یک نقطه ثابت، به یک فاصله هستند. ولی به طور سنتی در مورد اشکال هندسی از عبارت «مکان هندسی» استفاده میشود. هدف این نامگذاری تأکید بر دو چیز است:
- اگر نقطه‌ای در صفحه از نقطه‌ی ثابت مفروض به فاصله‌ی مفروض باشد، آنگاه روی دایره قرار دارد.
- اگر نقطه‌ای روی دایره باشد، آنگاه از نقطه‌ی ثابت مفروض به فاصله‌ی مفروض است.
«نقطه‌ی ثابت را مرکز دایره و فاصله‌ی ثابت را شعاع دایره می‌گویند.»
اگر نگاهی به فاصله گذاری بین مفاهیم بیاندازید خواهید دید که چرا مهم است که قائم‌الزاویه بودن یک مثلث و این را که رابطه‌ی فیثاغورث در آن صدق می‌کند، از هم جدا کنیم و بعد رابطه‌ی بین آنها را با دقت و درستی بیان نماییم. در مورد دایره هم همین‌طور است؛ یعنی باید امکان تجربه کردن هر دو حکم بالا به یادگیرنده داده شود. در ادامه‌ی این نوشته، کتاب‌های درسی را از دریچه‌ی امکان تجربه‌ی این دو طرف مفهوم دایره بررسی می‌کنیم.
اول
در کتاب اول دبستان دایره هم‌زمان با مربع، مثلث و مستطیل نامگذاری میشود. شکلی از هر کدام کشیده شده است و نام‌های هر‌یک زیر آن نوشته شده است. بعد از کودک خواسته میشود که با آنها شکل درست کند و رنگ کند. در نتیجه‌ی این تجربه، الان کودک با دو شکل زیر روبه‌رو است و سوال این است که کدام‌یک از این دو، دایره است؟
دوم
در کتاب دوم دبستان از دایره فقط به عنوان یک ابزار استفاده شده است و خود آن به طور مستقیم مورد بررسی مجدد قرار نگرفته است. بیشتر موارد در سطح این است که در دایره‌ی زیر فلان علامت را قرار دهید. جدی‌ترین مورد، مورد زیر است:
در اینجا منظور از دایره چیست؟ آیا منظور شکل زیر است:
اگر این چنین است، باید گفت که در شکل داده شده در کتاب، هیچ قسمتی از آن رنگ نشده است!
سوم
در کتاب سوم دبستان و در «پاورقی»های چند صفحه، کمی بیشتر در مورد دایره می‌خوانیم. در اینجا و با توجه به کشیدن دایره به کمک پرگار، مرکز دایره (جای سوزن پرگار روی کاغذ) و شعاع دایره (اندازه‌ای که پرگار باز میشود) معرفی می‌گردد. سپس، قطر دایره به شکل زیر معرفی می‌گردد:
به نظر می‌رسد که هدف این است که جواب سوال دوم «مرکز» باشد. ولی وقتی از نصف کردن دایره صحبت می‌کنیم، از نصف کردن کدام یک از دو شکل زیر صحبت می‌کنیم؟
توجه کنید که کتاب سوم دبستان به صراحت وقتی از خط صحبت می‌کند، از خط راست صحبت نمی‌کند. فعالیت زیر نمونه‌ای از این صراحت است.
بنابراین به نظر می‌رسد که در هر دو مورد زیر هم دایره را نصف کرده‌ایم و در یکی از آنها حتی از مرکز دایره هم گذر نکرده‌ایم!
چهارم
در کتاب چهارم دبستان، دایره موضوع بحث نیست و ابزاری است برای کارهای دیگر. مشخص‌ترین آن، استفاده از آن در معرفی زاویه است.
الان به نظر می‌رسد علاوه بر دو مورد قبلی، گزینه‌ی جدیدی برای شکلی که به آن دایره می‌گوییم، داریم و حالا سوال این است که کدام‌یک از این سه، دایره است؟
پنجم و ششم
در کلاس‌های پنجم و ششم ابتدایی، محیط دایره و سپس مساحت آن مورد بحث قرار می‌گیرد؛ ولی همچنان چیزی برای این‌که بتوان بین سه شکل بالا تفکیک گذاشت، مورد توجه قرار نمی‌گیرد.
هفتم
در کتاب هفتم دایره مجددا به شکل ابزاری است برای کاربردهای دیگر، مهم‌ترین آن در معرفی استوانه.
آیا سر و ته استوانه حتما باید بسته باشند که بتوان گفت که سر و ته آن به شکل دایره هستند؟ یا همینگونه باز هم قبول است؟ جواب به این سوال به این بستگی خواهد داشت که شما به کدام یک از سه گزینه‌ی بالا دایره می‌گویید. چیزی که در کتاب هفتم نیز به آن اشاره‌ای نشده است.
هشتم
بالاخره رسیدیم به کتاب هشتم که به خاطر آن این نوشته شروع شد. در کلاس هشتم یک فصل به دایره اختصاص یافته است. شروع فصل با فعالیتی است که به طور صریح به فاصله‌ی نقاط از یک نقطه‌ی ثابت اشاره می‌کند.
احتمالاً جواب مورد انتظار این است که دایره (به هر حال عنوان فصل دایره است) ولی توجه کنید که اگر این نقطه‌ها را بیشتر و بیشتر کنیم، فقط یک تعداد زیاد نقطه داریم که فاصله‌ی آنها از یک نقطه‌ی ثابت یکسان است. علاوه بر این، با این کار هنوز نمی‌توانیم تفاوتی بین سه شکل زیر بگذاریم.
مشکل این عدم دقت خودش را فوری و در سوال بعدی نشان می‌دهد در جایی که خواسته میشود نقاط مشترک خط و دایره مورد بررسی قرار بگیرد. برای مثال، به نظر شما خط راست سیاه و شکل آبی زیر چند نقطه‌ی مشترک دارند.
نهم
در کتاب سال نهم، اولین باری است که در استفاده از زبان کمی دقت شده است. به سوال زیر نگاه کنید. به درستی خواسته شده است که «قرص»ها با هم مقایسه شوند و نه دایره‌ها؛ ولی تا قبل از این فعالیت هیچ‌گاه از «قرص۱» استفاده نشده است. جمله‌ی بعدی هم قابل توجه است: دایره محیط قرص.
و بالاخره در جایی که قرار است کره تعریف شود، به عنوان آماده سازی برای تعریف کره، برای اولین بار، تعریفی از دایره ظاهر میشود.
ولی متأسفانه تعریف ارائه شده، اشتباه است. توجه کنید که حتی مجموعه‌ای که فقط یک یا دو نقطه دارد که همه‌ی آنها از یک نقطه در همان صفحه به فاصله‌ی ثابت و مشخص قرار دارند، بنابر تعریف بالا، یک دایره است.
در واقع تعریف درست به شکل زیر است:
دایره، مجموعه‌ی همه‌ی نقاطی از صفحه است که از یک نقطه در همان صفحه به یک فاصله ثابت هستند.
اگر چه کتاب به زودی به همان موقعیتی برمی‌گردد که قبل از «تعریف» دایره داشت.
دانش‌آموز ما!
ما به طور طبیعی، دوست داریم که دانش‌آموز ما وقتی کلاس نهم را به انتها می‌رساند بتواند به سوال‌های نسبتاً ساده‌ای مثل این سوال که «آیا نقطه‌ی زیر نقطه‌ای از دایره است؟» جواب دهد.
متأسفانه به نظر نمی‌رسد که دانش‌آموزی که از مسیر کتاب‌های درسی از سال اول ابتدایی تا آخرین سال دوره‌ی اول متوسطه را طی کرده است، بتواند به سادگی یا حتی به سختی، پاسخ این سوال را بدهد. امکان هیچ‌کدام از دو تجربه‌ی اساسی مربوط به دایره، برای دانش‌آموزان مهیا نشده است:
- اگر نقطه‌ای در صفحه از نقطه‌ی ثابت مفروض به فاصله‌ی مفروض باشد، آنگاه روی دایره قرار دارد.
- اگر نقطه‌ای روی دایره باشد، آنگاه از نقطه‌ی ثابت مفروض به فاصله‌ی مفروض است.
برای پاسخ به سوال بالا، دانش‌آموز نیاز به تجربه‌ای از حکم دوم دارد که اگر نقطه‌ای روی دایره باشد، باید فاصله‌ی آن از مرکز، برابر با فاصله‌ی نقاط دیگر از مرکز (طول پاره خط نارنجی در شکل زیر) باشد، که در مورد نقطه‌ی داده شده، این‌گونه نیست.
همچنین انتظار داریم که دانش‌آموز بتواند به این سوال که «آیا شکل زیر دایره است؟» جواب دهد که متأسفانه به نظر نمی‌رسد که آماده‌ی آن باشد.
توجه کنید که با توجه به تعریف ارایه شده در کتاب نهم، این شکل دایره است چون مجموعه‌ی نقاطی از صفحه است که همه‌ی آنها از یک نقطه در آن صفحه با فاصله‌ی ثابتی قرار دارند؛ ولی این شکل همه‌ی چنین نقاطی را در برنمی‌گیرد و ما می‌دانیم که برای این‌که این شکل به مفهم ریاضی آن دایره باشد، باید همه را دربرگیرد چرا که « اگر نقطه‌ای در صفحه از نقطه‌ی ثابت مفروض به فاصله‌ی مفروض باشد، آنگاه روی دایره قرار دارد.»
چه کنیم؟
این نوشته را شروع کردم به امید این‌که در قالب یک معلم کلاس هشتم، یادداشتی بنویسم. ولی آن‌چه دانش‌آموزان فرضی‌ام قبل از این‌که وارد کلاس من شوند با آن روبه‌رو بوده‌اند، پیچیده‌تر از آن بود که بتوانم به راحتی شروع کنم به یادداشت نویسی. برای همین این نوشته را تحت عنوان «دایره در کتاب‌های درسی» و نه «یادداشت‌های یک معلم» منتشر می‌کنم به امید این‌که بر مبنای آگاهی حاصل از آن، یادداشتی به عنوان یک معلم بنویسم.
- آن‌چه در ریاضیات دایره نام دارد، به «حلقه» در زندگی روزمره نزدیک‌تر است و اگر داخل یک دایره رنگ شده باشد به آن معمولاً «قرص» می‌گویند. ↩︎
دیدگاهتان را بنویسید