قضیه‌ی باقیمانده‌ی چینی

امیر اصغری

۱۵۵

یکی از قدیمی‌ترین و معروف‌ترین مساله‌های تقسیم و باقی‌مانده، مساله‌ای است که امروزه به نام قضیه‌ی باقی‌مانده‌ی چینی شناخته می‌شود. دلیل نام‌گذاری این است که اولین بار در مساله‌ای در یکی از متون ریاضی چین قدیم به آن اشاره شده است. بیان مساله خیلی ساده است: «فرض کنید چند نفر آدم داریم که وقتی در تیم‌های سه نفره‌ی گل‌کوچک بازی می‌کنند، به دو نفر تیم نمی‌رسد! وقتی در تیم‌های پنج نفره‌ی فوتسال بازی می‌کنند، به سه نفر تیم نمی‌رسد! وقتی در تیم‌های هفت‌نفره‌ی هندبال بازی می‌کنند، به دو نفر تیم نمی‌رسد! سوال این است که این گروهِ بدشانس از آدم‌ها چند نفر هستند.»

این اعداد ولی نه داستان آن، واقعاً اعداد اولین مساله‌ی ثبت و یافت شده از باقی‌مانده‌ی چینی است.

به طور سنتی قضیه‌ی باقی‌مانده‌ی چینی یا در دبستان مطرح نمی‌شود یا اگر هم بشود، معمولاً در مورد دو تقسیم است، نه سه تقسیم مثل داستان گروه بدشانس ما!

این مساله، به طور سنتی حتی در سال‌های بعد از دبستان هم در آموزش رسمی نمی‌آید و اگر دانش‌آموزی مثلاً برای آمادگی شرکت در المپیاد یا به دلایل دیگری نظریه اعداد بخواند، با آن به عنوان یکی از قضیه‌های اساسی نظریه اعداد آشنا می‌شود. توجه کنید که مساله به راحتی می‌تواند در هر دسته‌بندی معمول روزانه خودش را نشان بدهد و به طور طبیعی مطرح شود؛ حتی زمانی که کودک به طور رسمی در مورد تقسیم و باقی‌مانده آموزش ندیده است. اما چرا چنین مساله‌ای به این خوبی و به این طبیعی در آموزش معمول نیست؟

قضیه‌ی باقی‌مانده‌ی چینی از قرن سوم میلادی که مثالی از آن مطرح شد (همان اعداد بالا) تا به امروز مورد استفاده قرار گرفته است و به تدریج هم خود قضیه، هم زبان مطرح کردن آن و هم راه حل آن شسته‌ورفته‌تر شده است. تا جایی که این زبان، بخشی از خود قضیه شده است و تا دانش‌آموزان با آن زبان در نظریه اعداد آشنا نشوند، با خود قضیه هم آشنا نخواهند شد. از طرفی حتی جواب مثال‌های به نظر خیلی ساده، گاهی چنان بزرگ است که با قلم و کاغذ هم نمی‌توان تجربه‌ی به‌دردبخوری از مساله به یادگیرنده داد. این بی‌توجهی به خاطر تلفیق کردن نادرست قضیه با زبان رسمی طرح و حل آن و به خاطر سختی حل قلم کاغذی آن، به مدت بیش از هزارسال ادامه داشت تا اینکه تارنمای امید ریاضی ابزاری به نام جدول پویای اعداد ارائه داد که در ادامه آمده است.

دوست دارید در چند ستون چیده شود؟

۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹ ۱۰
۰
۱
۲
۳
۴
۵
۶
۷
۸
۹
۱۰
۱۱
۱۲
۱۳
۱۴
۱۵
۱۶
۱۷
۱۸
۱۹
۲۰
۲۱
۲۲
۲۳
۲۴
۲۵
۲۶
۲۷
۲۸
۲۹
۳۰
۳۱
۳۲
۳۳
۳۴
۳۵
۳۶
۳۷
۳۸
۳۹
۴۰
۴۱
۴۲
۴۳
۴۴
۴۵
۴۶
۴۷
۴۸
۴۹
۵۰
۵۱
۵۲
۵۳
۵۴
۵۵
۵۶
۵۷
۵۸
۵۹
۶۰
۶۱
۶۲
۶۳
۶۴
۶۵
۶۶
۶۷
۶۸
۶۹
۷۰
۷۱
۷۲
۷۳
۷۴
۷۵
۷۶
۷۷
۷۸
۷۹
۸۰
۸۱
۸۲
۸۳
۸۴
۸۵
۸۶
۸۷
۸۸
۸۹
۹۰
۹۱
۹۲
۹۳
۹۴
۹۵
۹۶
۹۷
۹۸
۹۹
۱۰۰
جدول را از صفر شروع کن

برخلاف جدول اعداد معمول و مرسوم که اعداد در جدولی با ده ستون نشانده می‌شوند، جدول پویای اعداد، امکان انتخاب تعداد ستون‌های جدول را به استفاده‌کننده می‌دهد و شما می‌توانید اعداد را در دو، سه، چهار یا … تا ده ستون قرار دهید.

این جدول، فایده‌های زیادی دارد که یکی از آنها در طرح یادگیری عددهای هم‌ستون در جدول پویای اعداد آمده است. اما استفاده از آن برای تجربه ورزی با قضیه‌ی باقی‌مانده‌ی چینی فرافایده است؛ چرا که می‌تواند تجربه‌ای از این قضیه را بدون دردسر وارد کلاس درس کند. اجازه بدهید اولین مساله‌ی باقی‌مانده‌ی چینی در تاریخ را با جدول پویای اعداد حل کنیم.

گروه بدشانس ما اگر به دسته‌های سه نفری تقسیم می‌شدند، دو نفر بدون تیم می‌ماندند. پس در جدول پویای اعداد، اعداد را در سه ستون قرار می‌دهیم و ملاحظه می‌کنیم که تعداد آدم‌ها می‌تواند هر یک از اعدادی باشد که در ستون دوم این جدول است. در واقع همه‌ی اعداد این ستون را باید رنگ کرد؛ ولی من امیدوارم همین تعداد برای مساله‌ی ما کافی باشد.

حالا، به آدم‌ها و بازی فوتسال توجه می‌کنیم و این که وقتی در گروه‌های پنچ نفره قرار می‌گیرند، سه نفر بدون تیم می‌مانند. پس ما می‌دانیم که اگر اعداد را در پنج ستون بچینیم، جواب در ستون سوم است. اعداد رنگی را نگه می‌داریم و تعداد ستون‌های جدول را به پنج تغییر می‌دهیم.

اعداد هم‌ستون جدول قبل، اکنون دیگر در یک ستون نیستند و در جدول پخش می‌شوند. ما می‌دانیم که تعداد مورد نظر ما، یکی از همین خانه‌های رنگی است و در ستون سوم از این جدول جدید است؛ پس می‌توانیم باقی اعداد رنگی را از بقیه‌ی ستون‌ها حذف کنیم و فقط ستون سوم را نگه داریم!

حالا فقط بازی هندبال مانده است و دسته‌های هفت تایی. دوباره از جدول پویای اعداد استفاده می‌کنیم و جدول قبلی را با همان خانه‌های رنگیِ روی آن، به جدولی با هفت ستون تغییر می‌دهیم.

در تقسیم آدم‌ها به دسته‌های هفت تایی، دو تا باقی می‌مانند. پس تعداد مورد نظر ما در ستون دوم از جدول بالا است. عدد (یا اگر اعداد بود، اعداد) ستون (یا ستون‌های دیگر) را پاک می‌کنیم و آنچه می‌ماند، جواب اولین مساله‌ی تاریخ قضیه‌ی باقی‌مانده‌ی چینی است که با استفاده یکی از ابزار «هوشمند» در تارنمای امید ریاضی پیدایش کرده‌ایم.

از اینجا به بعد تجربه‌اندوزی است و کشف اسرار قضیه‌ی باقی‌مانده‌ی چینی. لطفاً تجربه بورزید و کشف‌های خود را برای ما بنویسید.


۱۵۵

دیدگاه‌ها

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *