الگوریتم تقسیم

می‌خواستم نظری درباره دو تا از نوشته‌های قبلی ثبت کنم که آنقدر طولانی شد که فکر کردم، بازاندیشی‌ام روی این نوشته‌ها را در یک نوشته بنویسم و در آن به نوشته‌های شعبده‌ی ناموفق گسترده‌نویسی در تقسیم، نوشته‌ی هوشمند حسن‌نیا و جمشید و هوشمند و پندی نوشته‌ی امیر اصغری برگردم (با تشکر از هر دو نویسنده که فرصت این بازنگری را فراهم کردند).

هوشمند و رو کردن دست شعبده‌باز

در نوشته‌ی شعبده‌ی ناموفق گسترده‌نویسی در تقسیم، قسمتی از کتاب درسی پایه چهارم آمده است که پیشنهاد می‌کند برای تقسیم بر عددهای یک‌رقمی، از گسترده کردن مقسوم استفاده کنیم. این پیشنهاد مبتنی بر پیشنهاد کلی کتاب در تقسیم بر عددهای یک‌رقمی است. پیشنهادی که در تصویر زیر هم دیده می‌شود و در آن مقسوم‌ در دسته‌هایی که تعدادشان با مقسوم‌علیه برابر است، قرار می‌گیرد.

حالا قسمت دیگری از همان کتاب (چهار صفحه بعد) را ببینید که پیشنهاد دیگری برای تقسیم بر عددهای دورقمی در آن آمده است. پیشنهاد این است که مقسوم را در تعدادی دسته‌‌هایی که اندازه‌ی هر کدام با مقسوم‌علیه برابر است، قرار می‌گیرد.

شاید در نگاه اول به نظر برسد که کتاب چقدر هوشمندانه عمل کرده است و توانسته الگوریتم رسمی تقسیم را به درکی که ممکن است کودک از تقسیم داشته باشد، وصل کند.

اما به گمان من اشتباه اینجا است که ریاضیات، تکه‌های جدا جدایی از تکنیک‌ها نیست و این تکه تکه شدن، تصویر ریاضی را در ذهن کودک مخدوش می کند! به نظرم عجیب نیست که کودکی که این الگوریتم را چندپاره می‌بیند، درکی از هیجان‌انگیز بودن الگوریتم تقسیم، از آن جهت که برای همه‌ی عددها کار می‌کند، نداشته باشد و شاید سوالش این باشد که برای عددهای سه‌رقمی و چهاررقمی و … چه کار کنم.

متاسفانه حرکت کردن کتاب بین تعبیرها، کمکی به کودک نمی‌کند و گرچه هر کدام از شعبده‌ها، درباره‌ی عددهایی که بلافاصله در تقسیم‌های کتاب آمده است، کار می‌کند، اما کودک را در فکر کردن به عددها و یافتن مسیر تقسیم، توانا نمی‌کند.

امیر و شفاف کردن الگوریتم جمشید کاشانی

در نوشته‌ی امیر اصغری، مسیر تقسیم جمشید کاشانی به خوبی توضیح داده شده است. راستش من پیش از خواندن این نوشته، نمی‌دانستم که این الگوریتم چطور پیش می‌رود و با خواندن نوشته، توانستم الگوریتم تقسیم جمشید کاشانی را بفهمم (که همین‌جا از نویسنده تشکر می کنم).

مسیر شفاف است! جمشید کاشانی الگوریتم تقسیم را بر معنی تقسیم در دنیای بیرون و تقسیم کردن به دسته‌هایی به تعداد مقسوم‌علیه یا به اندازه‌ی مقسوم‌علیه سوار نکرده است. الگوریتم تقسیم کاشانی، معنی‌اش را از ارتباط میان ضرب و تقسیم می گیرد. یعنی هم در تقسیمی مانند ۴۸ بر ۳ و هم در تقسیمی مانند ۶۹ بر ۲۳ به دنبال عددی می‌گردد که حاصل ضرب آن در مقسوم‌علیه، از مقسوم کوچک تر باشد. بدین ترتیب الگوریتم کاشانی برای همه‌ی عددها یک‌جور است، همانطور که باید باشد.

جستجوی هنرمندانه‌ی جمشید کاشانی

به نظر من الگوریتم جمشید کاشانی، بسیار شبیه تقسیمی است که در بچگی به ما یاد می‌دادند. این که از راست رقم‌های مقسوم را جدا می کردیم و جلو می‌آمدیم تا جایی که بتوانیم قسمت جدا شده‌ی مقسوم را بر مقسوم‌علیه تقسیم کنیم. این تقسیم را ببینید (که مثلاً در بچگی انجام شده و صفرش جا افتاده بوده است).

کاشانی در جدول یک و دو در نوشته‌ی جمشید و هوشمند و پندی به جای جلو آمدن در مقسوم، مقسوم‌علیه را به سمت راست حرکت می‌دهد و با این ترتیب، یکان مقسومِ هر مرحله و یکان مقسوم‌علیه را هم‌ستون می‌کند (مثلا در مثالی که نوشته‌ی امیر اصغری بود، هنگام تقسیم ۳۵۶۵ (هزارتا) را بر ۴۷۵، یکان دو عدد زیر هم هستند). در ادامه، خارج قسمت را (که حتما یک رقمی است) هم‌ستون با همین دو یکان می‌نویسد و در ادامه نیز، پس از ضرب مقسوم‌علیه در خارج قسمت، یکان حاصل را در همان ستون قرار می‌دهد و تفریق این مرحله را انجام می‌دهد. تقسیم زیر به روش کاشانی انجام شده است.

انگار که شاهکار کاشانی در جای خارج قسمت است و این تفاوت اصلی الگوریتم او با الگوریتم بچگی‌های من است.در الگوریتم بچگی‌های من، باید رقم‌های مقسوم‌ را از راست جلو می آمدیم، قبل از داشتن خارج قسمت نیازی به گذاشتن صفر نبود ولی بعد از آن‌که یک رقم در خارج قسمت ظاهر می شد، لازم بود که حواسمان باشد که اگر رقمی جلو رفتیم و تقسیم کردن، ممکن نبود، در خارج قسمت صفر بگذاریم. در الگوریتم کاشانی لازم نیست یادمان بماند که کجا باید صفر بگذاریم، الگوریتم را جلو می‌رویم و هر رقم خارج قسمت را جایی قرار می‌دهیم که باید بگذاریم. به جای رقم ۲ در خارج قسمت تقسیم نیمه‌کاره‌ی زیر نگاه کنید. بدون آن‌که بدانیم بقیه‌ی خارج قسمت چیست، می‌دانیم که این رقم خارج قسمت، در صدگان قرار گرفته است.

جالب است که در الگوریتم کاشانی حتی اگر تقسیم را نیمه‌کاره هم رها کنیم، خارج قسمت را به‌صورت تقریبی پیدا کرده‌ایم (در تقسیم نیمه‌کاره‌ی بالا می‌دانیم که خارج قسمت دویست و خرده‌ای است). البته به نظر می‌رسد که خود کاشانی هم از الگوریتمش صد در صد راضی نبوده و در جستجوی الگوریتمی بهتر یا نوعی بهتر برای نوشتن مسیر، جدول‌های یک و دو و سه و چهار را ساخته است.

ادامه‌ی جستجو تا کنون

برای من جالب است، شاید برای شما هم جالب باشد که جستجو برای یافتن الگوریتمی ساده‌تر برای تقسیم، هنوز هم ادامه دارد و گرچه تقریباً همه جا جمع و منها و ضرب اعداد چندرقمی مشابه هم انجام و نوشته می‌شود، اما همه جای دنیا تقسیم را مثل هم نمی‌نویسند. مثلاً تقسیم سمت چپ را که با یک ماشین‌حساب برخط انجام شده است، ببینید و آن را با تقسیم سمت راست که در یکی از کتاب‌های آموزش ریاضی پیشنهاد شده است، مقایسه نمایید:

آموزش الگوریتم تقسیم

به نظر می‌رسد الگوریتم تقسیم خیلی پیچیده است و همه‌ی این نوشته، درباره‌ی این پیچیدگی و تلاش‌های انجام شده برای ساده کردن آن است. الگوریتم تقسیم بچگی‌های ما که خیلی پیچیده بود و من به یاد می‌آورم که دوستانم از حل تقسیم‌ها ناامید می‌شدند.

در حال حاضر، برای من سوال این نیست که چطور باید این الگوریتم را ساده‌تر کرد! چرا؟ چون فکر می‌کنم تلاش‌های انجام شده برای این اتفاق، پرهزینه بوده‌اند.

به تلاش ناموفق کتاب درسی در ابتدای همین نوشته نگاه کنید. نظر می‌رسد کتاب درسی تلاش کرده است که الگوریتم تقسیم را به کمک تعبیرهای تقسیم برای دانش‌آموزان معنادار کند و از این طریق، آن را ساده‌تر نماید؛ اما این تلاش، به ضرر ریاضی تمام شده است و هزینه، به گمان من، بیش از فایده است! چرا که گفتمان ریاضی مانند هر گفتمان دیگری، روش‌های خودش را دارد و تکه تکه کردن یک الگوریتم، خارج از گفتمان ریاضی است و تصویری که حاصل این تلاش، از ریاضی به دانش‌آموزان (یادگیرندگان تازه‌کار ریاضی) ارائه می‌دهد، تصویری مخدوش از آن است.

از آن طرف جمشید کاشانی، درون گفتمان ریاضی، سعی کرده که الگوریتمی یک‌پارچه برای تقسیم بسازد ولی الگوریتمی که پیشنهاد می‌دهد، اصلاً ساده و مناسب آموزش دادن به بچه‌های دبستانی نیست.

با این وصف، برای من این که الگوریتم تقسیم باید آموزش داده شود یا نه، جای تردید دارد.

می‌دانم که انجام تقسیم‌های طولانی با استفاده از الگوریتم (Long Division) در بعضی از برنامه‌درسی‌های ریاضی جایی ندارد و بچه‌ها تنها با مفهوم تقسیم آشنا می‌شوند و با روش‌های ابداعی، تقسیم‌های مختلفی را انجام می‌دهند و در ادامه از ماشین‌حساب برای انجام محاسبات استفاده می‌کنند؛ اما نمی‌دانم که بهترین پاسخ برای برنامه‌درسی ما چیست. امیدوارم که نوشته‌هایی از این دست و نظراتی که روی آن نوشته می‌شود، برای پیدا کردن راه‌های بهتر، کمک‌کننده باشد.