یادداشت‌های یک معلم (۲)

این تقصیر من نیست که این همه سال درس داده‌ام و در مورد هر موضوعی یادداشت دارم و می‌توانم بعد از نوشتن درباره الگوها در کتاب هفتم بپرم به کلاس دوازدهم.

درس امروز مشتق است از کتاب حسابان (۲). کتاب را نگاه می‌کنم، با این عنوان شروع می‌شود: خط مماس بر منحنی؛ سپس در شروع درس با روش معمول، تحت عنوان یک فعالیت، تعریف معمول شیب خط مماس و سپس مشتق ارائه می‌شود. بسیاری از اوقات نسخه‌ای از این برخورد با موضوع را در کلاسم استفاده کرده‌ام. شروع آن با این سوال است: «مماس چیست؟» و اگر به خود دانش‌آموزان در کلاس فرصت داده شود، همه‌ی آن چیزهایی را که در نهایت رد خواهند شد، جزء حدس‌های اولیه خواهند گفت. مثلاً این‌که: «خطی که در یک طرف منحنی قرار دارد و در یک نقطه با آن مشترک است.» و این شروع مناسبی خواهد بود برای چرایی نگاه تحلیلی در برابر نگاه هندسی محض به خط مماس.

اما الان مدت‌هاست که این‌گونه شروع نمی‌کنم. چرا؟ چون «اصولاً چرا باید به خط مماس اهمیت بدهم و بخواهم آنرا تعریف کنم؟»

کلاس من

کلاس را با نمایش هم‌زمان چهار شکل زیر شروع می‌کنم. سوال خیلی ساده است و طبیعی: «این شکل‌ها چه فرقی باهم دارند؟»

با توجه به دانش قبلی بچه‌ها، صعودی بودن و نزولی بودن به راحتی قابل اشاره است. ولی تقعر و جهت آن به راحتی قابل توصیف نیست. اینجا معمولاً از استعاره‌ای که از کتاب «حساب دیفرانسل و انتگرال چیست؛ سویر» یادگرفته‌ام، استفاده می‌کنم. این‌که یکی آب را نگه می‌دارد و دیگری نگه نمی‌دارد!

سوال طبیعی بعدی این است که این تفاوت‌ها را چگونه می‌توان به طور تحلیلی توضیح داد. اگر نمودار تابع جلوی چشم‌های ما نبود و مثلاً فقط فرمول تابع را داشتیم از کجا می‌توانستیم بفهمیم که شبیه کدام یک از حالت‌های بالا است. جواب این سوال به طور شگفت‌انگیزی ساده است: «به کمک خط مماس!» منظورم از ساده این نیست که زود به ذهن می‌رسد که اصلاً این‌گونه نیست؛ منظورم از جنس زیبایی در سادگی است. این‌که یک مفهوم به نظر فسقلی این‌همه تواناست.

خط مماس به عنوان ماشین تابع

توجه کنید که در مورد هر چهار شکل بالا، همان تعبیری از مماس که برای مماس بر دایره کار می‌کند، هم‌چنان کار می‌کند: «خطی که در یک طرف منحنی قرار دارد و با آن در یک نقطه مشترک است.» الان هم‌چنان لزومی برای گیر دادن به این «تعریف» نمی‌بینم؛ چون این تعریف، برای تجربه‌ی مفاهیم مورد نظرم -یعنی صعودی و نزولی بودن و تقعر به بالا و پایین- همچنان کافی است. مهم‌تر این‌که برای تجربه‌ی «خط مماس به عنوان یک ماشین تابع» عالی است.

توجه کنید وقتی از همان اول به تعریف مماس گیر می‌دهیم، تمرکز اصلی را روی مشتق در یک نقطه گذاشته‌ایم در حالی که آن‌چه در نهایت نیازمند آن هستیم، مشتق به عنوان یک تابع است. اکنون کمی با این مفهوم روی کاغذ شطرنجی بازی می‌کنیم. یکی از نمودار‌ها را انتخاب و شیب خط مماس را در نقاط مختلف آن به کمک کاغذ شطرنجی بدست می‌آوریم و مهم‌ترین اتفاق اینجا می‌افتد؛ این‌جا که تمرکز بچه‌ها از روی نقطه، نقطه‌ها برداشته می‌شود و به کل ماجرا به عنوان یک ورودی- خروجی جدید نگاه می‌کنند. ورودی نه آن نقطه، بلکه ایکس آن نقطه است و خروجی شیب خط مماس در آن نقطه. انتخاب ایکس به عنوان ورودی این امکان را فراهم می‌کند که تابعی را که با این ماشین بدست آورده‌ایم، روی همان دستگاه مختصاتی که تابع اصلی رسم شده بود، رسم کنیم (همان، نه به معنی دقیقاً روی آن) و ضمناً می‌توانیم در این میان بحث‌های کیفی کنیم. چون به هر حال ما چند نقطه بیشتر را نمی‌توانیم در نظر بگیریم؛ بنابراین باید نمودار تابع حاصل از ماشین خط مماس را کم و بیش درون‌یابی و بیرون‌یابی کنیم و در مورد شکل کلی آن پیش‌بینی کنیم و این‌ها همه کمک می‌کند که «ارتباط بین تابع اولیه و تابع مشتق» تجربه شود و ضمناً به طور طبیعی بحث تغییرات تابع مشتق مورد توجه قرار بگیرد و این یعنی بحث تقعر.

گسترش درک ما از خط مماس

تا اینجا هر آنچه انجام شده است، براساس همان درک مماس بر دایره است. ولی جالب و هیجان انگیز این است که همین درک ناقص، کلید گسترش خودش است. دو منحنی زیر را در نظر بگیرید.

برای هر کدام از دو تابع، از خط مماس به عنوان ماشین تابع استفاده کنید و تابع بدست آمده از شیب خط مماس را رسم کنید.

اگر درست عمل کنید، نمودارهای زیر را خواهید داشت:

اکنون سوال اینجاست که مقدار خروجی ماشین تابع در صفر چقدر است. فیلسوفی می‌گفت: «کار فلسفه این است که سوال‌های قدیم را با سوال‌های جدید جایگزین کند.» ریاضیدانی هم می‌گفت: «کار ریاضی این است که با تحمیل انتظارات، درک قدیم را در دل درک جدید بگنجاند.» (خداییش من نمی‌دانم این همه ریاضیدان را من از کجا پیدا می‌کنم.)

به تابعی که با استفاده از خروجی ماشین خط مماس برای شکل گوشه‌دار رسم شده است، نگاه کنید. انتظار ما این است که اگر برای ورودی صفر، خروجی‌ای داده شده باشد، بین منفی یک و یک باشد. ولی هیچکدام از مقادیر بین منفی یک و یک بدرد نمی‌خورد؛ چون هر کدام را که انتخاب کنیم، با انتظار ما که خروجیِ حاصل از ماشین خط مماس، مقادیر میانی^۱ را بگیرد، نمی‌خورد؛ چون همه‌ی ورودی‌ها هم اکنون خروجی دارند و برای هیچ خروجی دیگری جا ندارند.

حالا به خروجی ماشین خط مماس برای شکلی که مقادیر آن قبل از صفر هی کمتر و کمتر می‌شود و بعد از صفر هی بیشتر و بیشتر می‌شود، نگاه کنید. تنها انتخابی که برای ورودی صفر داریم، خروجی صفر است؛ ولی اگر این را بپذیریم، خط مماس بر منحنی‌ای که با آن شروع کردیم، خطی خواهد بود که منحنی را قطع می‌کند؛ یعنی برخلاف تعریف اولیه‌ی ما، منحنی را قطع کرده است!

حالا سوال این است: «تعریف ما از خط مماس چه باشد که همه‌ی این‌ها را شامل شود؟»

1. به قضیه‌ی داربو نگاه کنید. ↩︎