فاصله-اندازی بین مفاهیم

امیر اصغری

۳۵۹

وقتی یادگیرنده‌های ریاضیات بالاخره به جایی می رسند که ریاضیاتی که به آنها آموزش داده می‌شود نیازمند استدلال است، ناگهان صدای (خاموش) آموزش‌دهنده بالا می‌رود و در دل فریاد می‌زند که «پس این بچه‌ها چی یادگرفته‌اند.» وضعیت جدا کردن استدلال از ریاضی مثل جدا کردن کشک از کشک بادمجان است. می‌شود بادمجان را خالی هم خورد، اتفاقاً با کمی نمک خوشمزه هم هست. ریاضی را هم می‌توان بدون استدلال درس داد، اتفاقاً با کمی تردستی مفرح هم است. اما نه آن بادمجان بدون کشک، کشک بادمجان است و نه این ریاضیات بدون استدلال، ریاضیات. می‌شود کشک را در زمان مناسب به بادمجان اضافه کرد، اما چیزی به اسم زمان مناسب برای اضافه کردن استدلال به «ریاضیات» بدون استدلال وجود ندارد و همیشه دیر است. در واقع زمانی که قبل از حضور استدلال می‌گذرد خنثی نیست که بگوییم حالا می‌توانیم از الان به بعد استدلال را به آموزش ریاضی بچه‌ها اضافه کنیم. زمان‌های خالی از استدلال، یادگیری ریاضیات را سخت می‌کند و هر چه تجربه یادگیرنده از آن زمان‌های خالی بیشتر باشد، سختی یادگیری ریاضی برایش بیشتر خواهد بود.

قدمِ اولِ استدلال

خیلی ساده، استدلال نوعی نتیجه‌گیری است از آنچه می‌دانیم. می‌توان بین انواع و اقسام استدلال‌ها فرق گذاشت و در مورد دقت استدلال‌های ریاضی و اینکه این دقت چگونه حاصل می‌شود، نوشت. اما، صرف نظر از همه جزییات که استدلال‌های مختلف را از هم جدا می‌کند، همه آنها با تفکیک دانسته‌ها از آنچه قرار است نتیجه شود، شروع می شوند. فرض کنید می‌خواهید استدلال کنید که مجموع دو عدد زوج، زوج است. حتی اگر نوع استدلال از این گونه باشد که چند مثال بزنید و مثلا عدد دو را با عدد شش جمع کنید و عدد چهار را با عدد هجده و به حاصل توجه کنید و نتیجه بگیرید که پس «مجموع «هر» دو عدد زوج، زوج است»، همچنان از اینکه موقعیت را در جهت درست طی کرده‌اید باید به خود افتخار کنید. به هر حال، حتی استدلال مبتنی بر چند مثالی که ارایه کرده‌اید، بسیار بهتر از این است که مثلا با عدد شش شروع کنید و آنرا به شکل دو و چهار بنویسید و بعد برای محکم کاری عدد هجده را هم به شکل مجموع دو و شانزده بنویسید و بعد نتیجه بگیرید که پس« مجموع «هر» دو عدد زوج، زوج است.» در این حالت، نه تنها استدلال «کلی» خود را فقط بر اساس چند مثال انجام داده‌اید، بلکه حتی موقعیت را در جهت درست طی نکرده‌اید. این موقعیت آنقدر به نظر تابلو می‌رسد که ممکن است فکر کنید «مگه آخه می‌شود یک نفر جهت را اشتباه بگیرد (البته اگر معلمی کرده باشید می‌دانید که می‌شود).» پس یک مثال سخت‌تر بزنم.

به مثلث زیر نگاه کنید. حتما می‌دانید که قائم‌الزاویه است. ولی سوال این است که چرا قائم‌الزاویه است؟ اگر پاسخ تان این است که «بنابر قضیه فیثاغورث»، قبل از اینکه به خواندن ادامه دهید کمی مکث کنید و قضیه فیثاغورث را در ذهن خود مرور کنید. اگر پاسخ‌تان این نیست که «بنابر قضیه فیثاغورث»، به خواندن ادامه دهید.

در کتاب سال هشتم (ص. ۸۵) قضیه فیثاغورث اینگونه معرفی می‌شود که «در هر مثلث قائم الزاویه، مجذور وتر با مجموع مجذورهای دو ضلع دیگر برابر است.» که البته اشتباه نیست ولی به اندازه کافی جهت موقیعت را برای دانش آموز روشن نمی‌کند؛ اینکه می‌تواند با بررسی برابری مربع وتر (۲۵) با مجموع مجذورهای دو ضلع دیگر (۹+۱۶) نتیجه بگیرد که مثلث قائم الزاویه است، نه به خاطر خود قضیه فیثاغورث، بلکه به خاطر «عکس» آن است: «اگر در مثلثی رابطه فیثاغورث برقرار باشد، آنگاه مثلث قائم الزاویه است.»

در مقام مقایسه به قضیه اصغریوس که ساختاری مشابه قضیه فیثاغورث دارد، توجه کنید: «به جز عدد ۲، در هر عدد اول، مجذور یکان برابر است با مجموع دو عدد متوالی در دو طرف نصف مجذور یکان.» اکنون سوال این است که «آیا عدد ۱۱۳ اول است؟» با استفاده از قضیه اصغریوس پاسخ به این سوال خیلی ساده است. مجذور ۳ برابر است با ۹ که خودش برابر است با مجموع ۴ و ۵ که دو عدد متوالی در دو طرف چهار و نیم (نصف مجذور یکان) هستند. اجازه دهید عدد دیگری را هم امتحان کنیم. «آیا عدد ۱۱۹ اول است؟» مجذور ۹ برابر است با ۸۱ که خودش برابر است با مجموع ۴۰ و ۴۱ که دو عدد متوالی در دو طرف چهل و نیم (نصف مجذور یکان) هستند. به نظر می رسد که قضیه اصغریوس تشخیص اول بودن یک عدد را بسیار ساده می‌کند. تنها یک اشکال دارد و اینکه عدد ۱۱۹ اول نیست. عدد ۱۱۳ هم که اول است، به خاطر این نیست که «بنابر قضیه اصغریوس» اول است. اصولا این قضیه را برای تشخیص اول بودن نمی‌توان استفاده کرد و تنها کاری که می‌توان با آن کرد، تشخیص اول نبودن است. مثلاً می‌توان قضیه اصغریوس را به کار برد و نتیجه گرفت که ۱۱۸ اول نیست، چون مجذور ۸ برابر است با ۶۴ و این عدد را نمی‌توان به شکل مجموع دو عدد متوالی نوشت. البته خیلی راحت‌تر است که قضیه اصغریوس را به کار نگرفت و دید که ۱۱۸ زوج است و بر دو بخش‌پذیر و به همین دلیل هم اول نیست.

راستش قضیه اصغریوس فقط پیچاندن این قضیه است که «به جز عدد ۲، هر عدد اول، فرد است.» اینگونه که به آن نگاه کنید راحت‌تر می‌بینید که فرد بودن یک عدد، چیزی قطعی در مورد اول بودن آن عدد نمی‌گوید، ولی فرد نبودن یک عدد، حکمی قطعی در مورد اول نبودن آن عدد است. قضیه فیثاغورث هم تنها چیزی که می‌گوید این است که فلان مثلث با فلان اندازه اضلاع که در رابطه فیثاغورث صدق نمی‌کنند، به طور قطع قائم الزاویه نیست. ولی شانس یادگیرنده‌ها در مورد قضیه فیثاغورث این است که «عکس» این قضیه هم درست است و اگر مثلثی در رابطه فیثاغورث صدق کند، به طور قطع قائم‌الزاویه است. ولی این خوش شانسی چون آگاهانه به دست نمی‌آید، در دراز مدت یک بدشانسی بزرگ است. خود کتاب ریاضی هشتم تلاشی برای دادن این آگاهی نکرده است و اگر چه در همان کادری که قضیه فیثاغورث را گفته است، ذکر هم می کند که «عکس این رابطه هم درست است» ولی هیچ تلاشی در جهت جدا سازی کاربرد خود قضیه فیثاغورث و عکس آن از هم نمی‌کند. جالب اینجاست که از این کلمه «عکس» فقط یک بار در کل کتاب استفاده شده است؛ بدون هیچ توضیحی. آیا دانش آموز کلاس هشتم، خود قادر به درک این تفکیک است؟ جواب بدون تردید منفی است؛ چرا که چنین تفکیکی بر خلاف همه آموزشی است که تا آن زمان تجربه کرده است.

ریاضیات دبستان

می‌توانیم با خودمان فکر کنیم (همانطور که من سال ها فکر می کردم) که آنچه دانش آموز در دبستان آموزش دیده است، چون بیشتر محاسبه بوده است و حساب هیچگونه ربطی به یادگیری استدلال ندارد، بدون استدلال پیش رفته است و حالا که دوره متوسطه را شروع کرده است می‌توان آموزش ریاضیات مبتنی بر استدلال را شروع کرد (بالاخره آقامون پیاژه فرموده‌اند که بچه از دوازده سال به بعد است که می تواند منطقی فکر کند و فرض و حکم و این چیزها را درک کند). در حالی که همه چیز روی کاغذ گل و بلبل به نظر می‌رسد، ناگهان با دانش‌آموزانی روبرو می‌شوید که در ریاضیاتی که به آنها آموزش داده‌اند، خوب هستند (اگر خوش شانس باشید البته) ولی تا کمی استدلال از آنها می‌طلبید مثل این است که دیواری بین شما و آنهاست و شما این‌ور دیوار به زبان چینی و با هیجان توضیح می‌دهید که چرا «هر مربع، مستطیل است» و آنها آن‌ور دیوار با لوله‌های خودکار به هم گلوله‌های کاغذ پرت می‌کنند. دلیل شناخته شده وجود این دیوار، این است که ریاضیاتی که آنها انتظار دارند، چیزی دیگری است و آنچه شما می‌گویید اصلاً برای آنها ریاضیات نیست؛ چون لزوما چیزی در آن محاسبه نمی‌شود. اما دلیل اصلاً شناخته نشده آن، همین است که منظور این نوشته است، اینکه «ریاضیاتی که به آنها آموزش داده شده است، نه به خاطر تصویری که از ریاضیات برای آنها ایجاد می‌کند، بلکه خودش به خودی خود مانعی است برای ریاضیات مبتنی بر استدلال.» برای درک این تفاوت، آدمی را در نظر بگیرید که در اثر یک تصادف مقدار زیادی از بینایی خود را از دست داده است. اکنون از او می‌خواهید کاری را انجام دهد که نیاز به بینایی خوب دارد. او از پس آن کار بر نخواهد آمد نه به خاطر اینکه تصادف، اثر روانی بدی روی او به جا گذاشته است- که البته گذاشته است و می‌تواند مانع روانی برای اینکه از مقدار باقی مانده بینایی استفاده کند ایجاد کند- اما بیشتر به خاطر این است که خود بینایی او آسیب دیده است. آموزش ریاضیات در دبستان همان تصادف است که با بی توجهی به فاصله-اندازی بین مفاهیم مقدار زیادی از بینایی ریاضی بچه‌ها را از بین می‌برد.

از اول دبستان شروع کنیم جایی که همه آنچه از کودک خواسته می‌شود این است که کاری را انجام بدهد و نتیجه آن کار را بگوید. مثلاً چیزهایی را بشمارد و تعداد را بگوید و یا علامتی را روی کاغذ بگذارد. به این ترتیب «نتیجه» عموما منحصر به فرد (یکتای) عمل بدون فاصله گذاری با خود عمل، در ادامه آن خواهد آمد. کودک سه تا گربه را می شمارد و می گوید سه یا می نویسد ۳. هر چیز دیگری به جز این بگوید یا بنویسد اشتباه است. این را مقایسه کنید با اینکه شما می‌گویید «سه» یا می‌نویسید ۳ و کودک هر سه چیزی را که مایل است، می شمارد یا به شما نشان می دهد. همچنان بعضی از پاسخ‌ها می‌تواند نادرست باشد ولی اینبار جواب درست، یکتا نیست. این کمک می‌کند که بین عمل و نتیجه‌ آن فاصله ایجاد شود. «اگر سه تا گربه را می شمارید، آنگاه جواب شمارش، عدد سه است.» یک گزاره درست است. اما «اگر جواب شمارش عدد سه است، آنگاه آنچه شمارده شده، سه تا گربه است.» یک گزاره نادرست است. بدون شک، منظور این نیست که به این شفافی و با این زبان رسمی و منطقی این تفاوت در اول دبستان (یا حتی اصولاً در دبستان) ایجاد شود. اما باید فرصت تجربه آن داده شود و حتی از زبان مناسب برای صحبت در مورد آن استفاده شود.

تقریباً هر جا که محاسبه‌ای است می توان از همان روش بالا، به تفکیک عمل و نتیجه عمل کمک کرد. مثلا به جای اینکه بنویسیم سه بعلاوه چهار و نتیجه جمع را بخواهیم، می‌توانیم هفت را بدهیم و جمع را بخواهیم (که البته این روش کاملاً شناخته شده است، اما نه به دلیلی که در این نوشته مطرح می شود). از آنجایی که ریاضیات دبستان اصولا محاسبه است، این یعنی تقریباً همه جا می‌توان این فرصت را ایجاد کرد و با گسترش تدریجی زبان یادگیرنده، صحبت در مورد موقعیت را به طور مناسبی ارتقا بخشید.

اگر چه حتی اندک ریاضیات غیر محاسباتی دبستان، عموماً در کتاب های درسی به محاسبه تقلیل پیدا می‌کند، همین اندک، می‌تواند فرصت مناسبی برای جدا‌سازی مفاهیم ایجاد کند. مثلا توجه به اعداد زوج و فرد، اولین بار در اول دبستان و در دو دنباله عددی (با اعداد کوچک تر از بیست) ظاهر می‌شوند با این توضحیح در پاورقی کتاب (ص. ۱۲۱) که «هدف، شمردن ۲ تا ۲ و ایجاد آمادگی برای عددهای فرد و زوج است و در حال حاضر نام‌های فرد و زوج مورد نظر نیست.» سپس در کتاب دوم دبستان (ص. ۱۳۱) به آنها نام می‌دهد با استفاده از دنباله ۱،۳،۵،۷ برای اعداد فرد و دنباله ۲، ۴، ۶، ۸ برای اعداد زوج. سپس همان کتاب (ص. ۱۴۰) از کودک می خواهد به دو دنباله از اعداد سه رقمی که عددهای یکی زوج هستند و عددهای دیگری فرد، توجه کند و از آنها می‌خواهد که جواب دهند که «عددهای زوج و فرد چه ویژگی هایی دارند.» به طور کلی، هر جا صحبت از ویژگی می‌شود؛ یعنی آنجا می‌شود مکث کرد و به جداسازی مفاهیم فکر کرد. متاسفانه در کتاب «راهنمای تدریس ریاضی دوم دبستان» توضیح داده نشده است که با توجه به آنچه به یادگیرنده تا آن زمان آموزش داده شده است، از او چه پاسخی انتظار می رود. اگر چه می‌توان حدس زد که تنها پاسخی که کودک بتواند بدهد با توجه به شکل نوشتن اعداد خواهد بود چرا که هیچ ابزاری به جز آن به او آموزش داده نشده است. و با توجه به شکل اعداد، تنها پاسخ به درد بخور، مبتنی بر یکان اعداد خواهد بود و این یعنی از دست رفتن یک فرصت منحصر به فرد برای جدا سازی مفاهیم. چرا که «در زمینه نوشتن اعداد به شکل ده‌دهی است که زوج و فرد بودن یک عدد، با زوج و فرد بودن یکان آن عدد یکی می شود و خارج این بستر، لزوما اینگونه نیست.» مثلاً به ۱۰ توجه کنید. در عدد نویسی ده‌دهی، ۱۰، نشان دهنده ده است. ولی وقتی به جای ده تا ده تا، چیزها را پنج تا پنج تا دسته‌بندی کنیم، ۱۰، نشان دهنده عدد پنج است و پنج عددی فرد است. به همین دلیل است که آموزش زوج و فرد باید مبتنی بر دسته‌بندی باشد و نه شکل نوشتن اعداد. اگر چه حتی آموزش بد یک «ویژگی»، فرصت‌های استفاده از آن را برای جداسازی مفاهیم ایجاد می‌کند که امیدوارم در نوشته‌های بعدی، مثال‌هایی از آن را در ریاضیات مدرسه، از دبستان تا دبیرستان، ببینیم.


برچسب‌ها:

۳۵۹

دیدگاه‌ها

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *