این یادداشتی نسبتاً بلند است بر آنچه از دو نوشته‌ی منتشر شده در امید ریاضی یادگرفته‌ام: جای ابزار در کجای یادگیری ریاضی است، نوشته‌ی زهره پندی و شعبده‌ی ناموفق گسترده‌نویسی در تقسیم، نوشته‌ی هوشمند حسن‌نیا. مثالی که استفاده خواهم کرد از جمشید کاشانی است. امیدوارم شما هم به اندازه‌ی من از اینکه این‌سه، چگونه به هم ربط پیدا می‌کنند، هیجان‌زده شوید و البته از آن چیزی هم یاد بگیرید.
شروع کنجکاوی
یکی از عادت‌های من این است که وقتی چیزی را نمی‌فهمم، منتظر می‌مانم تا چیز جدیدی یاد بگیرم و دوباره تلاش کنم که آنرا بفهمم. این‌گونه شد که نوشته‌ی هوشمند به حساب جمشید کاشانی وصل شد. مدت‌ها پیش الگوریتم تقسیم پیشنهادی توسط کاشانی را خوانده بودم و راستش با وجود اینکه به هر حال تقسیم است و حساب است، خیلی از آن سر در نیاوردم. نوشته‌ی هوشمند را که خواندم، فکر کردم دوباره به جمشید، شانسی بدهم و دادم و این دفعه آنرا بهتر فهمیدم. از مثال خود هوشمند استفاده می‌کنم. فرض کنید می‌خواهید ۴۰۰ را بر ۶۰ تقسیم کنید. بنابر آموزش کتاب ریاضی چهارم دبستان، باید ۴۰۰ را به ۴ دسته‌ی صدتایی یا ۴۰ دسته‌ی ده تایی بشکنیم؛ ولی هیچکدام کمکی برای انجام عمل تقسیم، نخواهند کرد. آنچه کمک خواهد کرد، شکستن۴۰۰ به ۳۶۰ و ۴۰ است؛ ولی مشکل اینجاست که اگر قرار باشد که هربار فکر کنیم که چگونه عدد را بشکنیم، از الگوریتم بودنِ الگوریتم، فاصله گرفته‌ایم. به هر حال، یکی از مهم ترین دلایل استفاده از الگوریتم‌ها این است که محاسبه را به یک فرایند مکانیکی تبدیل کنند؛ بنابراین سوال این است که آیا جمشید از پس آزمون هوشمند برآمده است.
تقسیم در حساب جمشید کاشانی۱
کاشانی با تعریف تقسیم شروع می‌کند و بعد از چند خط به انجام عمل تقسیم می‌رسد. چون هنوز احساس نمی‌کنم که درک درستی از تعریف ارائه شده توسط او دارم، آنرا به نوشته‌ای دیگر واگذار می‌کنم و در این نوشته، فقط تمرکز را بر انجام عمل تقسیم می‌گذارم. کاشانی از تقسیم ۳۵۶۵۹۰۸ بر ۴۷۵ به‌عنوان مثال استفاده می‌کند و تصاویر زیر، نحوه‌ی نمایش فرایند تقسیم توسط او را نشان می‌دهد. هر چهار تصویر، مربوط به یک تقسیم است و هر کدام به تنهایی می‌تواند با توجه به سلیقه، مورد استفاده قرار گیرد و جواب تقسیم را بدست آورد.
خیلی ناجوانمردانه خواهد بود اگر از شما بخواهم خودتان کشف رمز کنید چون خود من حتی با داشتن توضیحات کاشانی برایم سخت بود که بفهمم چی به چی است. ولی با توجه به این که روی یکی از شکل‌ها جای عناصر اصلی تقسیم را مشخص کرده‌ام، لطفا برای دست گرمی و قبل از ادامه‌ی خواندن، جای عناصر اصلی تقسیم را در شکل‌های دیگر پیدا کنید. سپس، روی همان جدول یک، قدم به قدم به حرف کاشانی گوش می‌کنیم و در مورد باقی شکل‌ها توضیح کوتاهی کافی خواهد بود.
جدول یک
مقسوم را می‌نویسیم و بالای آن یک خط می‌کشیم (روی این خط، خارج قسمت تقسیم قرار خواهد گرفت). بین هر دو رقم مقسوم هم یک خط می‌کشیم:
در قدم بعدی، مقسوم‌علیه را یک جای دوری در پایین جدول می‌نویسیم. عبارت «یک جای دوری» عین عبارت خود کاشانی است. اینکه چقدر دور، فکر می‌کنم به تجربه برخواهد گشت.
یکی از مهم‌ترین جنبه‌های روش کاشانی در قدم بعدی و در جواب به این سوال است که مقسوم‌علیه را در کدام ستون‌های جدول باید بنویسیم. جواب این است که به مقسوم‌علیه نگاه می‌کنیم و می‌بینیم که آیا مناسب است که از ستون اول جدول شروع به نوشتن آن کنیم یا نه:
۳۵۶ (ده‌هزارتا) را نمی‌توانیم بر ۴۷۵ تقسیم کنیم. برای همین نوشتن ۴۷۵ را از ستون دوم آغاز می‌کنیم. (با این حرکت است که جمشید از پس آزمون هوشمند برمی‌آید؛ جزئیات بیشتر در بخش بعدی خواهد آمد).
با شروع از ستون دوم، مشکل قبلی حل می‌شود و اکنون می‌توانیم ۳۵۶۵ (هزارتا) را بر ۴۷۵ تقسیم کنیم. حاصل این تقسیم، عدد ۷ است. این عدد را بالای خط افقی که در ابتدا در بالای مقسوم کشیده بودیم، می‌نویسیم؛ ولی نه در هر ستونی که دلمان خواست. ستونی که باید آنرا بنویسیم، توسط کاشانی مشخص می‌شود: عدد هفت را در همان ستونی می‌نویسیم که آخرین رقم مقسوم‌علیه (منظور یکان است) در آن قرار دارد. چرا دقیقاً آن ستون خاص؟ چون آن عدد ۷ باید در ۴۷۵ ضرب شود و اگر آن‌ها قرار بود که در مسئله‌ای در هم ضرب شوند، همان‌گونه نوشته می‌شدند که ۷ دقیقاً در بالای یکان ۴۷۵ قرار می‌گرفت. اکنون جدول، به شکل زیر است:
از اینجا به بعد، چند تفاوت ظریف با عادت‌های ما در انجام تقسیم طولانی دارد. برای یادآوری: صرف نظر از اینکه قیافه‌ی تقسیم ما با قیافه‌ی تقسیم کاشانی فرق می‌کند (منظورم واقعاً تصویری است که روی کاغذ کشیده می‌شود)، در نحوه‌ی انجام عملیات میانی هم فرق‌هایی وجود دارد؛ مثلاً ما در این مرحله ۷ را در ۴۷۵ ضرب می‌کنیم و برای این‌کار با ضرب کردن ۷ در یکان ۴۷۵ شروع می‌کنیم و از سمت راست به سمت چپ حرکت می‌کنیم. کاشانی ضرب را از طرف چپ شروع می‌کند و این کار را نه یک‌باره، بلکه مرحله به مرحله انجام می‌دهد. در مورد مثال، به روش کاشانی، ۷ را در ۴ (صدتا) ضرب می‌کنیم و نتیجه را در جدول می‌نویسیم و بعد تفریق لازم را انجام می‌دهیم.
توجه کنید که روی رقم‌های ۲۸ خط کشیده‌ام. چون کاشانی پیشنهاد می‌کند که می‌شود ۲۸ را بدون اینکه خود آنرا بنویسیم، از ۳۵ کم کنیم؛ یعنی فقط کافی است که نتیجه‌ی تفریق را بنویسیم. اکنون می‌توانید به جدول دو کاشانی نگاه کنید؛ اصولاً همان جدول یک است با این تفاوت که در آن مرحله‌ی تفریق به طور ذهنی انجام شده است.
اکنون ۷را در دومین رقم ۴۷۵ (دومین رقم از چپ) ضرب می‌کنیم و حاصل را در جدول و این دفعه با شروع از ستون دوم (از چپ)، می‌نویسیم و آنرا از دو رقمی که بلافاصله در بالای آن قرار دارند، کم می‌کنیم (دو رقم قرمز در شکل زیر).
اکنون عدد ۷ (از خارج قست) را در آخرین رقم مقسوم‌علیه یعنی عدد ۵ ضرب می‌کنیم و همان کارهای قبلی را تکرار می‌کنیم.
شکل زیر همان شکل قبلی است با این تفاوت که الان ارقام عدد ۲۴۰۹۰۸ قرمز شده‌اند. این عدد حاصل تفاضل مقسوم (۳۵۶۵۹۰۸) است از ۷ برابرِ مقسوم‌علیه (۴۷۵).
اکنون مسئله تبدیل می‌شود به تقسیم ۲۴۰۹۰۸ بر ۴۷۵.
مقسوم جدید در جدول چیده شده است. ولی مقسوم‌علیه نیازمند جابه‌جا شدن است. چرا؟ چون اگر بخواهیم همان کارهای قبلی را دوباره تکرار کنیم، باید مقسوم‌علیه را جابجا کنیم. توجه کنید که ۲۴۰ (هزارتا) به ۴۷۵ تقسیم نمی‌شود. برای همین باید مقسوم‌علیه را یک ستون به سمت راست ببریم که ۲۴۰۹ (صدتا) را بر آن تقسیم کنیم.
در این مرحله می‌شود به جای اینکه مقسوم‌علیه را یک ستون به سمت راست ببریم، از همین جدولی که داریم برای نمایش تقسیم «جدید» یعنی تقسیم ۲۴۰۹۰۸ بر ۴۷۵ استفاده کنیم. در این صورت زیر آنچه تا به حال بدست آورده ایم یک خط می‌کشیم و از ادامه‌ی جدول برای منظور جدید استفاده می‌کنیم.
این مسیری است که کاشانی در جدول سه و جدول چهار دنبال می‌کند. جدول سوم با نوشتن همه‌ی عناصر تفریق‌های میانی و جدول چهارم بدون نوشتن آن‌ها و با انجام دادن آن‌ها در ذهن. از اینجا به بعد، تکمیل تقسیم‌ها را به خواننده واگذار می‌کنم و با این امید که اگر گیر کرد، از خود جدول‌های کاشانی کمک بگیرد. اکنون زمان بررسی آزمون هوشمند است.
آزمون هوشمند
تقسیم کاشانی آنقدر پیچیدگی داشت که فکر کنم پاسخ به آزمون هوشمند در آن گم شد. مثال خود هوشمند را یک بار دیگر ولی این بار از نگاه کاشانی مرور کنیم. ۴۰۰ را می‌نویسیم و بنابر توصیه‌ی کاشانی، جدول مربوط به آن را درست می‌کنیم. قدم بعدی این است که ۶۰ را در جای دور نامعلومی آن پایین‌های جدول ولی در ستون‌های درست قرار دهیم. نمی‌توانیم آن را از ستون اول شروع کنیم چون ۴۰ (ده‌تا) را نمی‌توانیم بر ۶۰ تقسیم کنیم؛ بنابراین ناچاریم که از ستون بعدی شروع کنیم.
اکنون باید چهارصد (یکی) را بر شصت تقسیم کنیم و می‌دانیم که به هر حال جواب، یکی از ضرایب (از یک تا نه) ۶۰ است. در بدترین حالت (همچنان که خود کاشانی توصیه می‌کند) می‌توان این مضارب را نوشت و دید کدام کار می‌کند؛ ولی احتمالاً در مورد سوال هوشمند می‌دانیم که ضریبی که کار می‌کند، عدد ۶ است. در جدول زیر می‌شود همین روش کاشانی را به‌راحتی کمی بهبود بخشید به جای اینکه ضرب‌های هر مرحله را رقم به رقم انجام داد، یک‌باره انجام داد، مثل همان کاری که ما امروزه انجام می‌دهیم. ولی من این کار را نکردم که به روش کاشانی همان‌گونه که هست، پایبند بمانم.
روش کاشانی به طور هوشمندانه‌ای از آزمون هوشمند سرفراز بیرون آمد. کلید این سرفرازی در آن قدم است که تعیین می‌کنیم که مقسوم‌علیه را در کدام ستون بنویسیم؛ در این قدم، هم مفهوم تقسیم هست و هم می‌توان آنرا کاملاً مکانیکی انجام داد. بزرگ‌ترین مشکل روش کاشانی، در جای قرار دادن مقسوم‌علیه است که اینکه در کجای انتهای جدول قرار بگیرد، الگوریتم خاصی ندارد و حتی خود کاشانی با وجود کاشانی بودنش گاهی جا زیاد می‌آورد و گاهی کم. و یکی از اتفاقات که در طول تاریخ انجام عمل تقسیم افتاده است (کی و کجای آن را نمی‌دانم،) همین است که این مشکل برطرف شده است. اکنون سوال اساسی این است که چرا کاشانی در ششصد سال پیش، از پس آزمون هوشمند برمی‌آید ولی کتاب چهارم دبستان، ششصد سال بعد بر نمی‌آید. در اینجاست که پندی وارد داستان می‌شود.
پندی
جمله‌ی کلیدی زهره پندی در نوشته‌ی «جای ابزار در کجای یادگیری ریاضی است» این است: «دریافت من این است که جای ابزار، در بیان فکر است … یعنی ابزار باید در خدمت بازنمایی تفکر کودک قرار بگیرد تا او بتواند ایده‌ها، روش‌ها و راه حل‌هایش را علاوه بر بکارگیری واژه‌ها و علائم در گفتن و نوشتن، به کمک ابزار، شفاف‌تر بیان کند.»
به نظر می‌رسد که این هیچ ربطی به تقسیم ندارد چرا که در هیچ کجای کتاب چهارم و این نوشته از «ابزار» برای تقسیم استفاده نشده است. ولی خب، ابزار برای اینکه ابزار باشد، حتماً نباید پیچ و مهره داشته باشد. نقش ابزار این است که «در خدمت بازنمایی تفکر کودک قرار بگیرد». علامتی که برای تقسیم به کار می‌رود، همانقدر ابزار است که چرتکه ابزار است و هر کدام می‌تواند در جهت بیان و ثبت تفکر کودک به کار بیایند و یا تبدیل به وسیله‌ای برای اجرای یک رویه‌ی بی‌مفهوم (برای کودک) باشند. اکنون می‌توانیم به کتاب چهارم دبستان برگردیم.
در نگاه اول به نظر می‌رسد که کتاب در تلاش است که در ضمن ایجاد تفکر، آنرا به ابزار وصل کند. ولی با چند مشکل روبه‌رو است.
- اول اینکه تفکری که در حال القای آن به کودک است، از پس آزمون هوشمند برنمی‌آید.
- دوم اینکه هدف ابزار این است که در خدمت تفکر باشد و نه برای تزئین تفکر و برای خوشحال کردن معلم.
- سوم اینکه کتاب تلاش نمی‌کند تفکر را از ابزار جدا کند و ابزار را نعل به نعل با تفکر القائی جلو می‌برد، به‌گونه‌ای که برای کودک انجام عمل تقسیم، پیوند می‌خورد به استفاده‌ی درست از ابزار.
اینجاست که دومین جمله‌ی کلیدی نوشته‌ی زهره پندی به کار می‌آید: «متأسفانه خیلی وقت‌ها ابزار و فعالیت‌هایی که به دست‌ورزی معروفند، به اشتباه برای تبدیل فعالیت‌های فکری و انتزاعی به فعالیت‌های عینی به کار می‌روند و به کودک و بزرگ‌ترهای او از جمله معلم، این سیگنال اشتباه را می‌دهند که کودک می‌تواند با این ابرازها ریاضی را انجام دهد.»
چرا کاشانی این مشکل را ندارد؟
- اول اینکه نگاهی که نسبت به عمل تقسیم دارد، مبتنی بر شکستن به‌دردبخور و آگاهانه‌ی اعداد است و نه شکستن دیکته شده‌ی اعداد.
- دوم اینکه او تقسیم را به ابزار عمل تقسیم پیوند نمی‌دهد و در واقع با ارائه‌ی چهار ابزار مختلف، آگاهی خودش را از اینکه این ابزار می‌تواند تنوع داشته باشد یا حتی بهتر از آنچه او ارائه می‌کند باشد، به نمایش می‌گذارد.
- سوم اینکه کاشانی کار گذشتگان را مطالعه می‌کرد و می‌دانست که آنچه می‌ماند مفهوم است و نه ابزار محاسبه.
به خصوص او بعد از خواندن فاصله گذاری بین مفاهیم نوشته‌ی امیر اصغری به این فکر کرد که چقدر مهم است که آگاهانه بین مفهوم و ابزار محاسبه‌ی آن فاصله انداخت.
- Aydin, N., & Hammoudi, L. (2019). Al-Kāshī’s Miftāḥ Al-Ḥisab, Volume I: Arithmetic: Translation and Commentary. Springer. ↩︎
دیدگاهتان را بنویسید