یک لوزی دلخواه با قطرهای افقی و عمودی، روی جدول ضرب رسم کردهایم، طوری که هر رأس آن روی یکی از عددهای جدول باشد.
در این لوزی حاصل جمع عددهای روی رأسهای دو قطر باهم برابر است؛ یعنی ۴۰+۱۰=۳۵+۱۵.
شما هم لوزیهای دیگری رسم کنید.
آیا همیشه حاصل جمع عددهای روی رأسهای دو قطر باهم برابرند؟ چرا؟
شرح فعالیت
جدول ضرب را در اختیار دانشآموزان قرار دهید و از آنها بخواهید یک لوزی دلخواه با قطرهای افقی و عمودی روی آن رسم کنند و عددهای روی رأسهای هریک از قطرهای لوزی را با هم جمع کنند. از آنها بپرسید: «آیا دو عدد با هم مساوی شد؟» (اگر درست محاسبه کرده باشند، باید دو عدد مساوی شده باشند).
برای این فعالیت میتوانید از ابزار کاغذی «جدول ضرب» یا ابزار مجازی «جدول ضرب» استفاده کنید و روی آنها صورت مسئله را توضیح دهید یا به جای آنها اولین فایل کاربرگ «چهارضلعیها روی جدول ضرب» را در اختیار دانشآموزان قرار دهید.
در ادامه این ادعا را مطرح کنید:
«وقتی یک لوزی با قطرهای افقی و عمودی روی جدول ضرب رسم میکنیم، حاصل جمع عددهای روی رأسهای دو قطر با هم برابر است!»
از دانشآموزان بخواهید در گروههای کوچک (دو تا چهار نفره) قرار بگیرند و ایدههایشان را باهم به اشتراک بگذارند.
برای آنها توضیح دهید که برای رد این برابری در حالت کلی، کافی است که مثالی پیدا کنند که این برابری در آن برقرار نباشد؛ اما برای اثبات برابری باید در حالت کلی بنویسند که چطور این حاصل جمعها مساوی میشود.
هنگامی که دانشآموزان مشغول کار هستند، به آنها سر بزنید و با پرسیدن سوالهایی مانند سوالهای زیر با آنها کمک کنید که ایدههایشان را شفاف کنند و برای ایدهها دلیل بیاورند، از هم سوال بپرسند و ایدههای یکدیگر را ارزیابی کنند:
- آیا برایت واضح است که دوستت چه ایدهای دارد؟
- آیا با ایدهی دوستت موافقی؟
- آیا این ایده برای لوزیهای دیگر هم درست است؟ چرا؟
- میتوانی عدد وسط لوزی را a در نظر بگیری و مجموع عددهای روی رأسهای هر یک از قطرهای لوزی را برحسب آن بنویسی؟
زمانی که گروهها به اندازهی کافی فرصت برای فکر کردن و ایدهپردازی و جمعبندی داشتند، از آنها بخواهید ایدههایشان را در کلاس مطرح کنند و ایدههای یکدیگر را مورد ارزیابی قرار دهند.
برای آنکه ایدههای جدید در کلاس طرح شود، با یک گروه آغاز کنید و سپس از گروههای دیگر بپرسید که آیا راهحل مشابه یا متفاوتی برای مطرح کردن، دارند؟
در این مرحله میتوانید از ابزار مجازی «جدول ضرب» برای نشان دادن مثالهای گروههای مختلف در کلاس استفاده کنید.
در پایان از دانشآموزان بخواهید هر یک به تنهایی، دلیلی را که به نظرش قابل دفاع است، به هر ترتیبی که میخواهد، بنویسد.
پاسخهای برخی از دانشآموزان
من عدد وسط لوزی را a درنظر گرفتم.
عددهای روی رأسهای سمت چپ و راست، به یک اندازه از a کمتر و بیشتر هستند؛ پس مجموعشان میشود ۲a.
عددهای روی رأسهای بالا و پایین هم به یک اندازه از a کمتر و بیشتر هستند؛ پس مجموعشان میشود ۲a.
حس میکنم، خیلی مسئله ساده حل شده و نمیدانم چرا بعضی از راه حلهای دوستانم، خیلی پیچیده است.
بازخورد معلم: ایدهات را خیلی خوب نوشتهای.
آیا مطمئنی که همیشه دو عدد روی رأسهای سمت چپ و راست به یک اندازه کمتر و بیشتر از عدد وسط لوزی هستند؟ آیا میتوانی برای آن دلیل بیاوری؟
دو عدد روی رأسهای بالا و پایین چطور؟
در واقع شما قسمتی از مسیر حلت را فرض گرفتهای و برای همین راه حلت به نظر ساده میآید. با دلیل آوردن دربارهی این قسمتها، راه حلت کامل میشود.
من یک لوزی در حالت کلی کشیدم و نوشتم که خانهها چطور از ضرب دو عدد ساخته میشوند.
حاصل جمع عددهای روی رأسهای هر قطر برابرست با:
b(a-x)+b(a+x)=2ab
a(b-y)+a(b+y)=2ab
یعنی حاصل جمعها با هم برابرند.
فعالیت زیر تقریباً همسطح فعالیت اصلی است و میتوانید در کلاس از دانشآموزان بخواهید که کار روی یکی از این دو فعالیت را انتخاب کنند و در دو دسته، در گروههای کوچک کار کنند و در پایان ایدههایشان را برای هم بازگو نمایند.
در این حالت، هنگام بررسی کارها در کلاس، ابتدا یک فعالیت و سپس فعالیت دیگر را مورد بررسی قرار دهید و بدین ترتیب هنگام کار کلاسی نیز فرصتی برای دوباره فکر کردن به ارتباط میان اعداد در جدول ضرب برای هر دو دسته از دانشآموزان، فراهم نمایید.
در جدول ضرب روبهرو یک مستطیل با طول و عرض افقی و عمودی، طوری رسم شده است که عددهای روی رأسهای آن روی اعداد جدول قرار گرفتهاند.
چه ارتباطی میان حاصل ضرب عددهای روی رأسهای دو قطر مستطیل میبینید؟
آیا در حالت کلی، حاصل ضرب عددهای روی رأسهای دو قطر باهم برابر است؟ چرا؟
این فعالیت در دومین فایل کاربرگ «چهارضلعیها روی جدول ضرب» آمده است.
پاسخهای برخی از دانشآموزان
من مستطیلهای زیادی کشیدم. در همهی آنها حاصل ضرب عددهای روی رأسهای دو قطر با هم مساوی بود.
بازخورد معلم: چه خوب که مثال زدی و حدست را نوشتهای. اما این کافی نیست! چون ممکن است وقتی جدول را از راست و پایین ادامه میدهیم، به مستطیلهایی برسیم که اینطور نباشند.
باید دلیلی پیدا کنی که نشان دهد در حالت کلی این برابری برقرار است. برای این منظور به کار یکی از دوستانت که در صفحهی بعدی گذاشتهام، نگاه کن. آیا دلیلی که او نوشته است، برایت واضح است؟ چه سوالهایی دربارهی این راهحل داری؟
من یک مستطیل در حالت کلی کشیدم و نوشتم که خانهها چطور از ضرب دو عدد ساخته میشوند.
حاصل ضرب عددهای روی رأسهای هر قطر برابرست با:
(a×d)×(b×c)=(b×d)×(a×c)
یعنی حاصل ضربها با هم برابرند.
دیدگاهتان را بنویسید