حاصل جمع دو عدد ۱۰ است.
حاصل‌ضرب این دو عدد چند خواهد بود؟
می‌توانی در حاصل‌ضرب‌ها الگویی پیدا کنی؟
شرح فعالیت
گام اول؛ مواجهه
معما را در کلاس مطرح کنید. از بچه‌ها بپرسید اگر حاصل جمع دو عدد ۱۰ باشد، حاصل ضرب آن‌ها چند خواهد بود؟ با شنیدن پاسخ‌های چند نفر از بچه‌ها موضوع را این‌طور جمع‌بندی کنید که حاصل‌ضرب یک عدد ثابت نیست و پاسخ‌های مختلفی برای این سوال وجود دارد.
گام دوم؛ فعالیت گروهی
از بچه‌ها بخواهید در گروه‌های دو نفره کار را شروع کنند. از آن‌ها بخواهید همه‌ی پاسخ‌های ممکن را پیدا کنند و تلاش کنند در این پاسخ‌ها دنبال الگوهایی بگردند.
بین گروه‌ها بگردید و آن‌ها را تشویق کنید که پاسخ‌هایشان را به شکلی سازماندهی کنند و الگوهایی که در پاسخ‌ها دیده‌اند را نشان بدهند.
ضمنا از بچه‌ها بخواهید موقع انجام فعالیت به این سوالات هم پاسخ بدهند.
- چه حاصل‌ضرب‌هایی ممکن است به دست آید؟
- بزرگترین حاصل‌ضرب کدام است؟
- کوچکترین حاصل‌ضرب کدام است؟
- حاصل‌ضرب‌ها را چه‌طور سازماندهی کردید تا بتوانید در آن به دنبال الگوها بگردید یا الگوها را به کمک آن نمایش دهید؟
نمونه‌هایی از الگوهایی که بچه‌ها ممکن است بگویند
من همه‌ی اعداد و حاصل‌ضرب‌ها را نوشتم. انگار وسطی از همه بزرگ‌تر است و اولی و آخری از بقیه کوچک‌تر هستند. توی حاصل‌ضرب وسطی دو تا عدد برابر در هم ضرب می‌شوند و بزرگترین حاصل را می‌سازند.
من از جایی به بعد حاصل‌ضرب‌ها را ننوشتم، چون متوجه شدم حاصل‌ها دوباره تکرار می‌شوند. فاصله‌ی حاصل‌ها اول خیلی زیاد است اما به مرور کم می‌شود. مثلا دو تای آخری فقط یکی با هم تفاوت دارند.
من فهمیدم که فاصله‌ی همه‌ی حاصل‌ضرب‌ها یک عدد فرد است. در واقع اعداد فرد پشت سر هم از ۱ این فاصله‌ها را می‌سازند.
من یک چیز بامزه فهمیدم. من می‌توانم بزرگترین حاصل را حساب کنم و برای حساب کردن بقیه‌ی حاصل‌ضرب‌ها اصلا لازم نیست ضرب را انجام بدهم و می‌توانم فقط از روی همان عدد بزرگ‌تر بقیه را حساب کنم.
مثلا اگر بخواهم برای ۲۰ حساب کنم می‌دانم که بزرگترین حاصل ۱۰۰ = ۱۰ × ۱۰ است. بعد برای پیدا کردن بقیه ۱۰۰ را منهای ۱ یا منهای ۴ یا منهای ۹ و غیره می‌کنم تا بقیه‌ی حاصل‌ضرب‌ها را پیدا کنم.
من سعی کردم برای تفاوت حاصل‌ها با بزرگترین حاصل‌ضرب یک دلیل پیدا کنم. برای این کار بزرگترین حاصل‌ضرب را روی یک مربع نشان دادم و سعی کردم از روی آن بقیه‌ی حاصل‌ضرب‌ها را بسازم. انگار هر بار که مستطیل جدید را می‌سازیم یک مربع اضافه می‌آید. اولین بار این مربع ۱×۱ است، بار بعدی این مربع ۲×۲ است. یعنی به جز ۲۵ که بزرگترین حاصل است، دومین حاصل یکی از ۲۵ کمتر است و سومین حاصل ۴ تا از ۲۵ کمتر است. از همین جا می‌فهمم که چهارمین حاصل ۹ تا از ۲۵ کمتر است.
راه‌حل من فقط برای مواقعی خوب است که عدد اولیه زوج باشد. عدد اصلی را a و نصف آن را b در نظر می‌گیرم. یکی از حاصل‌ضرب‌ها این است که b را در خودش ضرب کنیم یعنی b2.
برای جفت‌های دیگری که حاصلشان برابر a شود، دو تا عدد داریم که فاصله‌ی آن‌ها از b یکسان است. مثلا اگر یکی از اعداد b-1 باشد، پس عدد بعدی b+1 خواهد بود. حالا می‌توانیم b-1 را در b+1 ضرب کنیم که به حاصل b2-1 خواهیم رسید. همین‌طور می‌توانیم همه‌ی حاصل‌ها را بنویسیم.
از اینجا می‌فهمیم که بزرگترین حاصل زمانی است که نصف a در خودش ضرب شود. به جز این می‌فهمیم که فاصله‌ی همه حاصل‌های دیگر با بزرگترین حاصل به اندازه‌ی یک عدد مربع کامل است.
گام سوم؛ گفت‌وگو
الگوهایی که بچه‌ها پیدا کرده‌اند و روی کاغذ به نحوی نمایش داده‌اند را در کلاس نصب کنید و چند دقیقه به دانش‌آموزان فرصت دهید تا قدم بزنند و به این سؤالات فکر کنند:
- چه الگوهایی در کارهای بچه‌ها دیدم که خودم به آن فکر نکرده بودم؟
- در بین کارهای بچه‌ها چه روش‌های جالبی برای نشان دادن الگوها دیدم؟
از بچه‌ها بخواهید که الگوهایی که یافته‌اند را نشان دهند، توضیح دهند که چه‌طور آن الگوها را نمایش داده‌اند و چرا فکر می‌کنند این الگوها درست هستند. در مواقع مناسب از بقیه هم دعوت کنید که در مورد کارهای دوستانشان نظر بدهند.
توجه دانش‌آموزان را به روش‌های موثر سازماندهی حاصل‌ضرب‌ها و نمایش الگوها جلب کنید. خوب است کل الگوهای مطرح شده در کلاس را در یک قسمت جمع و نام‌گذاری کنید تا در بخش بعدی فعالیت بچه‌ها بتوانند آن‌ها را بررسی کنند.
گام چهارم؛ باز هم کاوش گروهی
از بچه‌ها بخواهید این بار عددی غیر از ۱۰ را انتخاب کنند و همان فعالیت قبلی را با آن انجام بدهند. از آن‌ها بخواهید که بررسی کنند آیا الگوهایی که در قسمت قبل در کلاس مطرح شده بودند برای عدد جدید هم درست هستند یا تفاوت دارند. از گروه‌ها بخواهید که همچنان نتایج کار خود را به نحوی که برای دیگران قابل فهم باشد ثبت کنند.
گام پنجم؛ باز هم گفت‌وگو
کارهای دانش‌آموزان را بر روی دیوار نصب کنید و به دانش‌آموزان فرصت دهید تا در مورد این سوال فکر کنند:
- چه الگوهایی همیشه درست هستند؟
در مورد الگوهایی که برای همه‌ی اعداد درست هستند و الگوهایی که فقط برای عددهای خاصی کار می‌کنند، گفت‌وگو کنید. بچه‌ها را تشویق کنید که برای درستی این الگوها و حدس‌ها دلیل بیاورند.
گام ششم؛ باز اندیشی
در انتها این سوال را مطرح کنید:
- جالب‌ترین الگوهایی که در این فعالیت کشف کردید چه بودند؟ چرا برای شما جالب بودند؟
دیدگاهتان را بنویسید