دو دوست قرار است به یک مدرسه متوسطه با ۱۰ کلاس ۲۹ نفره بروند.
کلاسبندی تصادفی انجام میشود.
احتمال این که این دو دوست همکلاس شوند، چقدر است؟
شرح فعالیت
کاربرگ مسئله «مدرسه متوسطه» را به دانشآموزان بدهید و از آنها بخواهید به صورت انفرادی به آن فکر کنند.
سپس از دانشآموزان بخواهید تا در گروههای دو یا سهنفره قرار بگیرند و باهم گفتوگو کنند و نتایج گفتوگوهایشان را در پاسخ به سوال مطرح شده، بنویسند. در هنگام کار گروهها، به آنها سر بزنید و پاسخها را بررسی و در صورت لزوم گروهها را راهنمایی کنید تا توضیحاتشان را شفافتر کنند.
در پایان از گروهها دعوت کنید تا پاسخ خود را در کلاس ارائه کنند.
نمونههایی از پاسخهای دانشآموزان
اولین گروه بر این باورند که شانس قرار گرفتن دو دوست در یک کلاس، ۱ در ۱۰۰ است.
استدلال آنها چنین است: چون ۱۰ کلاس وجود دارد و هر دانشآموز ۱ شانس از ۱۰ برای انتخاب شدن در کلاس اول دارد، بنابراین احتمال اینکه هر دو در همان کلاس باشند برابر است با حاصل ضرب یکدهم در یکدهم.
این احتمال چندان زیاد نیست و برخی از دانشآموزان گروه استدلال میکنند که اگر مدرسه کوچکتر و تعداد کلاسها کمتر بود، احتمال قرار گرفتن دو دوست در یک کلاس افزایش مییافت.
این راهحل، احتمال قرار گرفتن دو دوست در کلاس اول را محاسبه کرده است و معلم میتواند از این گروه بخواهد تا به دیگر موقعیتهایی که ممکن است این دو نفر در یک کلاس باشند (مثلاً دومین، سومین یا… دهمین کلاس) هم فکر کنند.
راهحل دومین گروه اندکی پیچیدهتر از گروه اول است.
در این مدل همچنان مقدار کلی احتمال همان ۱ در ۱۰۰ است، اما حلکنندگان نکتهای اضافه کردهاند: اینکه یکی از دو دانشآموز در یک کلاس قرار بگیرد و دیگری نه، یعنی حالتی شرایط مسئله برآورده نمیشود، خیلی احتمال بیشتری دارد.
در این پاسخ مثالی برای روشن شدن این ادعا آورده شده است:
اگر «مهراد» در کلاس اول و «ماهان» در کلاس دوم، سوم، چهارم، پنجم، ششم، هفتم، هشتم، نهم یا دهم قرار گیرد، آنگاه شرط مورد نظر برقرار نیست، زیرا مسئله دربارهی احتمال بودن هر دو در یک کلاس است.
در این راهحل عدد دقیقی برای احتمال چنین رویدادی محاسبه نشده، اما به درستی اشاره شده است که احتمال جدا شدن آنها بسیار بیشتر از با هم بودنشان است.
معلم میتواند از این گروه بخواهد که احتمال حالتهای مختلف را حساب کنند.
گروه سوم شرایط خاصی را در نظر گرفتهاند!
آنها فکر کردند که اگر با قرعهکشی اعضای هر کلاس تعیین و به ترتیب معرفی شوند، با اعلام شدن هر کلاس احتمال باهم بودن در کلاسهای بعدی را میتوان دقیقتر محاسبه کرد.
جدول زیر احتمال باهم بودن در هر کلاس را در چنین شرایطی نشان میدهد:
| کلاس | احتمال |
|---|---|
| ۱ | (1/10)² = 1.00% |
| ۲ | (1/9)² = 1.23% |
| ۳ | (1/8)² = 1.56% |
| ۴ | (1/7)² = 2.04% |
| ۵ | (1/6)² = 2.78% |
| ۶ | (1/5)² = 4.00% |
| ۷ | (1/4)² = 6.25% |
| ۸ | (1/3)² = 11.11% |
| ۹ | (1/2)² = 25.00% |
| ۱۰ | (1/1)² = 100.00% |
این گروه توضیح دادند که برای محاسبهی هر احتمال، عدد ۱ بر تعداد کلاسهای باقیمانده تقسیم شده و سپس به توان دو رسانده میشود.
آنها همچنین مشاهده کردند که با حذف تدریجی کلاسها، احتمال باهم بودن افزایش مییابد، هرچند حتی وقتی فقط دو کلاس باقی ماندهاند، این احتمال هنوز کمتر از ۵۰٪ است؛ اما وقتی فقط یک کلاس مانده است و اسم آنها هنوز گفته نشده، ۱۰۰٪ باهم در آن کلاس خواهند بود.
معلم میتواند به دانشآموزان پیشنهاد کند که به این موضوع فکر کنند که چه حالتهایی را در نظر گرفته و چه حالتهایی را در نظر نگرفتهاند.
این گروه گرچه با فرضی که اضافه کردهاند، درست پیش رفتهاند، اما با داشتن این جدول نمیتوانند احتمال همکلاس شدن دو دوست در حالت کلی مسئله را پیدا کنند.
گروه چهارم به این فکر کردهاند که مهراد ممکن است در هر کدام از کلاسها باشد و شانس ماهان برای همکلاس شدن با او، یکدهم است.
البته آنها حس میکنند که پاسخشان خیلی ساده است و مطمئن نیستند که درست فکر کرده باشند.
مدل ساده این گروه به درستی مسئله را نشان داده است.
معلم میتواند به این گروه توصیه کند که تعداد کلاسها را تغییر دهند. مثلاً فرض کنند که مدرسه دو تا کلاس دارد! و بررسی کنند که آیا مدلشان پاسخی منطقی میدهد یا نه.
دیدگاهتان را بنویسید
برای نوشتن دیدگاه باید وارد بشوید.