نگار وکیلی

استدلال در حوزه‌ی اعداد

۳۴

چکیده

در این فعالیت تعدادی کارت که بر روی آن‌ها، گزاره‌هایی در مورد عددها نوشته‌شده است، در اختیار دانش‌آموزان قرار می‌گیرد تا آن‌ها در مورد اینکه آیا آن گزاره‌ها همیشه درست هستند، گاهی درست هستند یا هیچ‌وقت درست نیستند، تصمیم بگیرند و با دلیل از تصمیم خود دفاع کنند.

به نظر شما جمله‌ی نوشته شده در کارت روبه‌رو چه وقت‌هایی درست است؟ همیشه، گاهی یا هیچ‌وقت؟

دلیل خود را بیان کنید.

شرح فعالیت
گام اول؛ مواجهه

یکی از کارت‌های «استدلال در حوزه‌ی اعداد» را انتخاب کنید و با دانش‌آموزان به اشتراک بگذارید و از آن‌ها بخواهید تا نظرشان را در مورد جمله‌ی نوشته شده بر روی کارت بگویند. آیا به نظر آن‌ها آن جمله همیشه درست است؟ یا گاهی درست است؟ یا اینکه هیچ وقت درست نیست؟

اهمیت استدلال

از دانش‌آموزان بخواهید استدلال کنند.

از دانش‌آموزان بخواهید تا از ایده‌شان با ارائه‌ی دلیل دفاع کنند. استدلال‌هایشان می‌تواند از جنس بازنمایی به کمک ابزار، بیان مثال یا نامثال برای تایید یا رد یک ادعا یا اینکه از سطح بالاتر و تعمیم‌یافته‌تری برخوردار باشد. نمونه‌هایی از استدلال‌های دانش‌آموزان در انتهای همین طرح آورده شده‌است.

گام دوم؛ کاوش

کارت‌های «استدلال در حوزه‌ی اعداد» مربوط به پایه‌ و موضوع مورد نظر خود را در اختیار گروه‌های دو نفره از دانش‌آموزان قرار دهید و از آن‌ها بخواهید تا آن کارت‌ها را در سه گروه «همیشه»، «گاهی» یا «هیچ‌وقت»، دسته‌بندی کنند. به این صورت که جمله‌ی روی کارت را بخوانند و تصمیم بگیرند که آیا آن جمله همیشه درست است، گاهی درست است و یا اینکه هیچ‌وقت درست نیست.

دسته‌های کارت‌ها در سطوح مختلف طراحی شده‌اند. شما بر اساس نیاز کلاس خود می‌توانید یک یا چند دسته از کارت‌ها را از ابزار کاغذی «استدلال در حوزه‌ی اعداد» انتخاب کنید. دسته‌های کارت‌ها بر اساس افزایش پیچیدگی در زیر نمایش داده‌شده‌اند.

سری اول:

استدلال در حوزه‌ی اعداد

سری دوم:

استدلال در حوزه‌ی اعداد

سری سوم:

استدلال در حوزه‌ی اعداد

سری چهارم:

استدلال در حوزه‌ی اعداد
گام سوم؛ گفت‌وگوی جمعی

یکی یکی کارت‌ها را انتخاب کنید و جمله‌ی آن را بخوانید و از گروه‌ها بخواهید تا ایده‌های خود را در مورد آن‌ها با بقیه‌ی کلاس به اشتراک بگذارند. می‌توانید ابتدا کارت‌های سخت‌تر یا کارت‌هایی که در مورد آن اجماع نظر وجود ندارد را انتخاب کنید.

برای تسهیل گفت‌وگوی ریاضی‌وار در کلاس می توانید سوال‌های زیر را بپرسید:

  • آیا می‌توانید مثالی (یا نامثال‌هایی) را در این مورد بیان کنید؟
  • آیا می‌شود همه‌ی مثال‌های مربوط به آن را مورد بررسی قرار داد؟ آیا راه دیگری جز بررسی مثال، برای فهمیدن وجود دارد؟
  • از کجا می‌دانی که این جمله همیشه درست است؟ دلیل بیاور
  • برای کارت‌های «گاهی»، آیا می‌توانید توضیح دهید که چه وقت‌هایی درست هستند و چه وقت‌هایی درست نیستند؟
  • برای کارت‌های «گاهی»، آیا می‌توانید آن‌ها را طوری بنویسید که همیشه درست باشند یا درست نباشند؟
گام چهارم؛ بازاندیشی

در پایان از دانش‌آموزان بپرسید:

  • چه چیز تازه‌ای امروز یاد گرفتید؟
نمونه‌هایی از پاسخ‌های دانش‌آموزان

وقتی دو عدد را با هم جمع می‌کنیم می‌توانیم جای آن‌ها را با هم عوض کنیم. در این صورت حاصل تغییری نخواهد کرد.

این جمله همیشه درست است. برای مثال ۲۰=۱۲+۸ و ۲۰=۸+۱۲ . همچنین ۱۰۵=۳۱+۷۴ و ۱۰۵=۷۴+۳۱ به هر حال انگار ما داریم دانه‌ها را روی هم می‌ریزیم، اول و دوم بودن فرقی ندارد.

در یک عبارت تفریق می‌توانیم جای عددها را با هم عوض کنیم. در این صورت حاصل تغییری نخواهد کرد.

این جمله همیشه اشتباه است. مثلا وقتی ۳-۴ را داریم اصلا نمی‌توانیم جای آن‌ها را عوض کنیم، چون نمی‌توانیم از عدد ۳ چهار تا کم کنیم.

چرا وقتی مساوی باشند انگار عوض کردن جای عددها اصلا عبارت را تغییر نمی‌دهد. پس این جمله گاهی درست است. برای مثال ۰=۹-۹ و ۰=۹-۹ ولی در ۱=۳-۴ نمی‌توانیم جای ۳ و ۴ را عوض کنیم. ۳ منهای ۴ مساوی نیست با ۱. (۱-=۴-۳)

اگر یک عدد فرد را با ۱ جمع کنیم، حاصل یک عدد زوج خواهد بود.

همیشه درست است. چون عددهای فرد را اگر به دسته‌های دوتایی تقسیم کنیم، یکی اضافه دارند. حالا اگر ۱ را اضافه کنیم، با ۱ قبلی یک دسته‌ی دوتایی جدید تشکیل می‌دهند. پس عدد باز هم زوج خواهد بود. برای مثال حاصل عبارت‌های زیر زوج هستند:

۶=۵+۱

۵۲۸=۵۲۷+۱

۹۲۷۶-=۹۲۷۷-+۱

اگر دو عدد فرد را با هم جمع کنیم، حاصل یک عدد فرد خواهد بود.

من فکر می‌کنم این جمله هیچ‌وقت درست نیست زیرا اگر دو عدد فرد مانند ۲۳ و ۵۹ را با هم جمع کنیم جاصل آن می‌شود ۸۲ و ۸۲ یک عدد فرد نیست. همچنین ۹۷ بعلاوه ۶۵ مساوی ۱۶۲ است و ۱۶۲ نیز یک عدد زوج است پس جمله‌ی «وقتی دو عدد فرد را با هم جمع می‌کنیم، جواب یک عدد فرد است» درست نیست.

آخه مشکلی وجود دارد. اگر بخواهیم عددهای فرد را به دسته‌های دو تایی تقسیم کنیم، همیشه یکی اضافه می‌ماند. خوب وقتی دو تا عدد فرد را با هم جمع می‌کنیم یعنی دو تا یک که اضافه بودند را با هم جمع می‌کنیم و این طوری یک دسته‌ی دوتایی جدید ساخته می‌شود. عددی که بتوان کل آن را به صورت دسته‌های دوتایی نوشت زوج است. پس به نظرم حاصل این جمع همیشه زوج است و هیچ‌وقت فرد نخواهد بود.

اگر به عددی ۱۰ تا اضافه کنیم و یکی کم کنیم، مانند این است که به آن عدد ۹ تا اضافه کرده‌ایم.

این جمله همیشه درست است. چون ۹=۱-۱۰. ۹تا اضافه کردن سریع‌تر از ۱۰ تا اضافه و یکی کم کردن است

اگر به عددی ۱۰ تا اضافه کنیم، حاصل عددی مضرب ۱۰ خواهد بود.

این جمله گاهی درست است. بستگی دارد ۱۰ را به چه عددی اضافه کنیم. اگر ۱۰ را با عددی که مضرب ۱۰ است جمع کنیم، حاصل مضرب ۱۰ خواهد شد. برای مثال ۴۰=۱۰+۳۰. ولی در ۵۳=۱۰+۴۳، ۵۳ مضرب ۱۰ نیست.

یکان عددهایی که مضرب ۵ هستند، ۵ است.

این جمله گاهی درست است، چون من یک مثال برای درستی آن دارم و یک مثال برای نادرستی آن. ۱۵ مضرب ۵ است و یکانش ۵ است ولی ۱۰ هم مضرب ۵ است که یکانش ۵ نیست.

حاصل جمع سه عدد متوالی، بر ۳ بخش‌پذیر است.

همیشه درست است. برای مثال ۶=۱+۲+۳ که ۶ بر ۳ بخش‌پذیر است یا ۳۳-=۱۲-+۱۱-+۱۰- که بر ۳ بخش‌پذیر است.

جالب است که می‌بینم در همه‌ی این مثال‌ها یکی از اعداد خودش بر ۳ بخش‌پذیر است. پس مشکلی نیست. بین دو تای بعدی هم می‌توانم ببینم که باقی‌مانده‌ی تقسیم یکی بر ۳ مساوی ۱ است و دیگر مساوی ۲. انگار این دو تا با هم یک گروه سه‌تایی تشکیل می‌دهند.

حاصل جمع سه عدد متوالی، بر ۳ بخش‌پذیر است.

من می‌توانم این عددها را این‌طور بنویسم. a و a+۱ و a+۲.

وقتی این سه‌تا را با هم جمع می‌کنم حاصل برابر ۳a+۳ خواهد بود.

چون می‌توانم در عبارت ۳a+۳ از ۳ فاکتور بگیرم و آن را به صورت (۱+a)۳ بنویسم. یعنی عددی که در ۳ ضرب شده. پس این عبارت حتما مضرب ۳ است.

اگر سه عدد را با هم جمع کنیم، حاصل عددی فرد خواهد بود.

گاهی درست است. حاصل جمع ۳، ۴ و ۵ می‌شود ۱۲ که یک عدد زوج است. حاصل جمع ۱، ۳ و ۵ می‌شود ۹ که یک عدد زوج است.

بله. من چند تا مثال زدم. حالا می‌توانم آن‌ها را در یک جدول نشان بدهم.

اعدادحاصل جمع
۳ تا عدد فردفرد
۲ عدد فرد و ۱ عدد زوجزوج
۱ عدد فرد و ۲ عدد زوجفرد
۳ عدد زوجزوج

حاصل جمع چهار عدد متوالی، بر ۴ بخش‌پذیر خواهد بود.

این عبارت همیشه اشتباه است. من می‌توانم آن را به کمک جبر بنویسم. من عدد اول را a انتخاب می‌کنم و اعداد بعدی به ترتیب a+۱ و a+۲ و a+۳ خواهند بود.

حالا جمع این چهار عدد مساوی ۶+۴a است. که در آن نمی‌توان از ۴ فاکتور گرفت، اما می‌توان از ۲ فاکتور گرفت و آن را به صورت (۳+۲a)۲ نوشت. بنابراین این عدد مضرب ۲ است، نه ۴.

برای اینکه این عدد مضرب ۴ باشد، لازم است عدد داخل پرانتز عددی زوج باشد که با ضرب شدن در ۲ مضرب ۴ را به وجود بیاورد. اما عدد داخل پرانتز حتما عددی فرد است. پس این حاصل جمع هیچ وقت امکان ندارد که مضرب ۴ باشد.

اگر یک عدد در خودش ضرب شود، حاصل عددی زوج خواهد بود.

گاهی اوقات درست است چون حاصل ۴x۴ برابر ۱۶ است ولی ۹x۹ می‌شود ۸۱ و ۸۱ یک عدد فرد است. پس این جمله گاهی درست است.

اگر دو عدد را در هم ضرب کنیم، حاصل عددی است که از هر دو عدد بزرگ‌تر است.

  • این جمله گاهی درست است چون اگر یکی از عددها صفر باشد، جواب صفر می‌شود. مثلا وقتی ۵ را در صفر ضرب می‌کنیم پاسخ می‌شود صفر و جواب بزرگتر از ۵ نیست. ولی ۱۰=۲x۵ و ۱۰ بزرگتر از ۲ و ۵ است. پس گاهی این جمله درست است و گاهی درست نیست.
  • برای عددهای بزرگتر از ۱، حاصل همیشه بزرگتر خواهد بود ولی برای عددهای منفی و عددهای اعشاری بین ۰ و ۱، حاصل همیشه کوچکتر خواهد بود. ۶=۳x۲، ۶ بزرگتر از ۲ و ۳ است در حالی که ۱=۲x۰.۵، ۱ کوچکتر از ۲ است.
  • می‌توانید از دانش‌آموزان بخواهید تا کارت‌هایی را برای انجام این فعالیت طراحی کنند و بار دیگر این فعالیت را با کارت‌های طراحی‌شده‌ی دانش‌آموزان انجام دهید.

منابع آموزشی مربوط به این طرح درس

  • ابزار کاغذی
    استدلال در حوزه‌ی اعداد
    نگار وکیلی
    استدلال در حوزه‌ی اعداد

    در این منبع، چهار سری کارت داریم که بر روی آن‌ها گزاره‌هایی در مورد عددها نوشته شده است. بچه‌ها با بررسی این گزاره‌ها استدلال در حوزه‌ی اعداد را تمرین می‌کنند.

دیدگاه‌ها

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *