PHP_INJECT_OK مربع – امید ریاضی https://math.omidedu.org Sat, 27 Jun 2026 12:08:45 +0000 fa-IR hourly 1 https://wordpress.org/?v=7.1.2 مسئله «دفترچه ستاره‌ها» https://math.omidedu.org/lessonplan/dependent-and-independent-events/ https://math.omidedu.org/lessonplan/dependent-and-independent-events/#respond Wed, 05 Nov 2025 17:31:19 +0000 https://math.omidedu.org/?post_type=lessonplan&p=16019

۱۰۰ دفترچه‌ از ۱ تا ۱۰۰ شماره‌گذاری شده‌اند و به ترتیب فروخته می شوند. برچسب‌های برنده در دفترچه‌های شماره‌ ۷، ۲۳، ۵۲، ۵۷ و ۸۶ قرار داده شده‌اند.

احتمال برنده شدن هر خرید را تعیین کنید!

دفترچه ستاره‌ها

شرح فعالیت

کاربرگ مسئله «دفترچه ستاره‌ها» را به دانش‌آموزان بدهید و از آن‌ها بخواهید به صورت انفرادی به آن فکر کنند.

سپس از دانش‌آموزان بخواهید تا در گروه‌های دو یا سه‌نفره قرار بگیرند و باهم گفت‌وگو کنند و نتایج گفت‌وگوهایشان را در پاسخ به سوال مطرح شده، بنویسند. در هنگام کار گروه‌ها، به آن‌ها سر بزنید و پاسخ‌ها را بررسی و در صورت لزوم گروه‌ها را راهنمایی کنید تا توضیحاتشان را شفاف‌تر کنند.

در پایان از گروه‌ها دعوت کنید تا پاسخ خود را در کلاس ارائه کنند.

نمونه‌هایی از پاسخ‌های دانش‌آموزان

    Element #1

    [mathjax]

    در گروه اول، دانش‌آموزان احتمال \(\frac ۵ {۱۰۰} \) را پیدا کرده‌اند.

    پاسخ آن‌ها در کل درست است، اما این پاسخ کامل نیست. معلم می‌تواند به آن‌ها فرصت دهد تا مسئله را بهتر درک کنند. مثلاً می تواند به آن‌ها توضیح دهد که «احتمال برنده شدن در اولین خرید \(\frac ۵ {۱۰۰} \) است؛ ولی وقتی اولین نفر خرید می‌کند و برنده نمی‌شود، همین ۵ جایزه برای ۹۹ نفر بعدی محفوظ است، بنابراین احتمال برنده شدن در خرید بعدی، بیشتر است.»

    Element #2

    گروه دوم جدول زیر را تشکیل داده‌اند و احتمال برنده شدن هر خرید را حساب کرده‌اند:

    خرید شمارهاحتمال برنده شدن
    ۱ \(\frac ۵ {۱۰۰} \)
    ۲ \(\frac ۵ {۹۹} \)
    ۳ \(\frac ۵ {۹۸} \)
    ۴ \(\frac ۵ {۹۷} \)
    ۵ \(\frac ۵ {۹۶} \)
    ۶ \(\frac ۵ {۹۵} \)
    ۷ \(\frac ۵ {۹۴} \)
    ۸ \(\frac ۴ {۹۳} \)
    ۹ \(\frac ۴ {۹۲} \)
    ۱۰ \(\frac ۴ {۹۱} \)
    ……
    ۱۰۰ \(\frac ۰ {۱} \)

    پاسخ این گروه کاملاً درست است؛ اما توضیحی درباره چگونگی محاسبه در حالت کلی در آن دیده نمی‌شود.

    Element #3

    کار گروه سوم خیلی مشابه گروه قبلی است؛ اما آن‌ها یک توضیح کلی اضافه کرده‌اند و موفق شده‌اند که مدلی ریاضی بسازند که به موقعیت‌ها و مجموعه‌داده‌های مشابه قابل تعمیم است. آنان نه‌تنها دریافته‌اند که پس از هر رویداد، احتمال برای نفر بعدی تغییر می‌کند، بلکه می‌توانند توضیح دهند که صورت و مخرج کسر احتمال چگونه بعد از هر نتیجه تغییر می‌کند.

    آن‌ها توضیح داده‌اند که پس از هر رویداد:

    • مخرج (تعداد کل دفترچه‌های باقی‌مانده) یک واحد کاهش می‌یابد.
    • صورت (تعداد دفترچه‌های برچسب دار باقی مانده) ثابت می‌ماند، مگر اینکه برنده‌ای انتخاب شود که در این حالت، صورت هم یک واحد کاهش می‌یابد.

    ]]>     https://math.omidedu.org/lessonplan/dependent-and-independent-events/feed/ 0     مسئله‌ «نمایشگاه ریاضی» https://math.omidedu.org/lessonplan/empirical-and-theoretical-probability/ https://math.omidedu.org/lessonplan/empirical-and-theoretical-probability/#respond Wed, 05 Nov 2025 17:12:02 +0000 https://math.omidedu.org/?post_type=lessonplan&p=15927

    نتایج ۵۰ بار و ۱۰۰۰ بار پرتاب یک تاس دوازده‌وجهی را مشاهده می‌کنید.

    این نتایج چگونه به هم و به احتمال آمدن هر عدد روی تاس مربوط می‌شوند.

    شرح فعالیت

    کاربرگ مسئله «نمایشگاه ریاضی» را به دانش‌آموزان بدهید و از آن‌ها بخواهید به صورت انفرادی به آن فکر کنند.

    سپس از دانش‌آموزان بخواهید تا در گروه‌های دو یا سه‌نفره قرار بگیرند و باهم گفت‌وگو کنند و نتایج گفت‌وگوهایشان را در پاسخ به سوال مطرح شده، بنویسند. در هنگام کار گروه‌ها، به آن‌ها سر بزنید و پاسخ‌ها را بررسی و در صورت لزوم گروه‌ها را راهنمایی کنید تا توضیحاتشان را شفاف‌تر کنند.

    در پایان از گروه‌ها دعوت کنید تا پاسخ خود را در کلاس ارائه کنند.

    نمونه‌هایی از پاسخ‌های دانش‌آموزان

      Element #1

      در گروه اول، دانش‌آموزان فقط به‌صورت تخمینی (با چشم) داده‌ها را مقایسه کرده‌اند و پاسخ‌هایی مانند «تفاوت زیادی بین عددهای ۵۰ تاس وجود دارد چون کمترین عدد ۱ است و بیشترین عدد ۹ برابر آن است.» یا «در ستون ۱۰۰۰ تاس عددها به هم نزدیک‌ترند چون کمترین ۶۷ و بیشترین ۱۰۲ است که از دو برابر آن هم کمتر است.»

      Element #2

      گروه دوم به این فکر کرده‌اند که انتظار دارند در یک دوازدهم ۱۰۰۰ بار یعنی حدود ۸۳ بار (۱۲ ÷ ۱۰۰۰) هریک از اعداد را ببینند و نمودار روبه‌رو را رسم کرده‌اند.

      آن‌ها فکر می کنند که اختلاف این دو خیلی زیاد نیست.

      این گروه فکر می‌کنند که در ۵۰ بار پرتاب تاس انتظارشان این نیست که هر عدد را ۴ بار (۱۲ ÷ ۵۰) ببینند چون ممکن است در ۵۰ بار تاس انداختن، اتفاق‌های متنوعی مشاهده شود. آن‌ها فکر می‌کنند که اختلافی که با ۴ دیده می شود گرچه زیاد است ولی طبیعی است.

      Element #3

      گروه سوم فقط به نتایج ۱۰۰۰ بار پرتاب توجه کرده‌اند و جدول زیر را ساخته‌اند:

      عدد روی تاستعداد آمدن این عدد در ۱۰۰۰ پرتاب تاسانتظار تقریبی مااختلاف تقریبی
      ۱۸۰۸۳۳تا کمتر
      ۲۹۰۸۳۷تا بیشتر
      ۳۸۵۸۳۲تا بیشتر
      ۴۱۰۲۸۳۱۹تا بیشتر
      ۵۷۵۸۳۸تا کمتر
      ۶۷۶۸۳۷تا کمتر
      ۷۹۳۸۳۱۰تا بیشتر
      ۸۷۸۸۳۵تا کمتر
      ۹۹۴۸۳۱۱تا بیشتر
      ۱۰۷۳۸۳۱۰تا کمتر
      ۱۱۸۷۸۳۴تا بیشتر
      ۱۲۶۷۸۳۱۶تا کمتر
      مجموع تعداد تاس انداختن‌۱۰۰۰  

      آن‌ها با توجه به این‌که انتظارشان برای دیدن هر عدد حدود ۸۳ بار (۱۲ ÷ ۱۰۰۰) بوده‌است، اختلاف بیشتر از ۸ تا (۱۰ ÷ ۸۳) یعنی حدود ۱۰ درصد را اختلاف زیاد در نظر گرفته‌اند و در جدول رنگ کرده‌اند.

      آن‌ها مدعی هستند که اختلاف مشاهده شده، زیاد است و تاس سالم نبوده است.

      ]]>       https://math.omidedu.org/lessonplan/empirical-and-theoretical-probability/feed/ 0       مسئله «اشتراک مجله» https://math.omidedu.org/lessonplan/randomness/ https://math.omidedu.org/lessonplan/randomness/#respond Wed, 05 Nov 2025 16:55:00 +0000 https://math.omidedu.org/?post_type=lessonplan&p=15910

      نتایج یک قرعه‌کشی برای اهدای جوایز در یک مدرسه را در جدول می‌بینید.

      آیا اهدای جوایز به نظر شما منصفانه بوده است یا نه؟ چرا؟

      اشتراک مجله

      شرح فعالیت

      کاربرگ مسئله «اشتراک مجله» را به دانش‌آموزان بدهید و از آن‌ها بخواهید به صورت انفرادی به آن فکر کنند.

      سپس از دانش‌آموزان بخواهید تا در گروه‌های دو یا سه‌نفره قرار بگیرند و باهم گفت‌وگو کنند و نتایج گفت‌وگوهایشان را در پاسخ به سوال مطرح شده، بنویسند. در هنگام کار گروه‌ها، به آن‌ها سر بزنید و پاسخ‌ها را بررسی و در صورت لزوم گروه‌ها را راهنمایی کنید تا توضیحاتشان را شفاف‌تر کنند.

      در پایان از گروه‌ها دعوت کنید تا پاسخ خود را در کلاس ارائه کنند.

      نمونه‌هایی از پاسخ‌های دانش‌آموزان

        Element #1

        راه‌حل اولین گروه، درک بسیار ابتدایی از مسئله را نشان می‌دهد و در قالب مدلی ساده بیان شده است. با این حال، مدل‌های ساده می‌توانند نقش آموزشی مهمی داشته باشند، زیرا به‌راحتی قابل تفسیر هستند.
        در این مدل، دانش‌آموزان مسئله درصد برندگان هر کلاس را بررسی کرده‌اند و دریافته‌اند که برندگان به‌صورت یکنواخت میان کلاس‌ها پخش نشده‌اند.
        به بیان دیگر، نوعی درک مقدماتی از «ارزش مورد انتظار» در پاسخ‌ها دیده می‌شود؛ زیرا دانش‌آموزان متوجه شده‌اند که حدود ۱۳ کلاس وجود دارد و ۱۰ جایزه باید میان آن‌ها تقسیم شود.

        حتی بدون انجام هیچ محاسبه‌ای می‌توان حدس زد که تقریباً همه کلاس‌ها باید تقریباً یک جایزه دریافت کنند.
        اما با مشاهده داده‌ها مشخص است که فقط پنج کلاس میان برندگان حضور دارند.
        همین محاسبه‌ی ساده می‌تواند به حل‌کنندگان مسئله کمک کند تا رابطه میان تصادفی بودن واقعی و ارزش مورد انتظار را درک کنند.

        به عبارت دیگر، حتی اگر نتوان دقیقاً تعداد برندگان هر کلاس را محاسبه کرد، عجیب به نظر می‌رسد اگر هیچ جایزه‌ای در برخی پایه‌ها یا کلاس‌ها نباشد.
        در عین حال، باید دانست که در فرایندهای تصادفی، تکرار هم ممکن است اتفاق بیفتد، اما تکرارهای مکرر (مثلاً چند برنده از یک کلاس) ممکن است تردیدهایی درباره تصادفی بودن واقعی ایجاد کند.

        Element #2

        راه‌حل دومین گروه اندکی پیچیده‌تر از گروه اول است و در درک «تصادفی بودن» و «ارزش مورد انتظار» دقیق‌تر است.
        در این مدل، درصد برندگان هر کلاس و پایه محاسبه شده و با ارزش مورد انتظار برندگان مقایسه شده و برای این منظور نمودارهایی رسم شده است.

        یکی از نمودارها ارزش‌های مورد انتظار را نشان می‌دهد و دیگری داده‌های واقعی را.
        در داده‌های واقعی، الگوی توزیع با الگوی مورد انتظار هماهنگ نیست.

        انتظار ما
        آنچه اتفاق افتاد


        تفاوت اصلی این مدل با مدل اول در این است که در اینجا دانش‌آموزان مسئله نمودارهایی برای نشان دادن تفاوت میان داده‌های نظری و واقعی ترسیم کرده‌اند.

        همچنین، داده‌ها به‌صورت عددی مشخص محاسبه شده‌اند، نه صرفاً به‌صورت توصیفی.
        در نمودار نشان داده شده است که هر کلاس باید تقریباً یک برنده داشته باشد (تقریباً ۱۰/۱۳ از یک برنده، که البته در توضیح دانش‌آموزان به‌صراحت بیان نشده است).
        اما نمودار دیگر نشان می‌دهد که واقعیت کاملاً متفاوت است؛ توزیع برندگان با انتظار نظری هم‌خوانی ندارد.

        Element #3

        گروه سوم ستونی به جدول اضافه کرده‌اند و ایده‌ای جدید مطرح کرده‌اند!

        نام کلاسمعلم اصلیتعداد دانش‌آموزانتعداد برندگان قرعه‌کشی
        هفتم الفخانم۲۷ 
        هفتم بخانم۲۹ 
        هفتم جخانم۲۷۲
        هفتم دخانم۲۶ 
        هشتم الفخانم۲۸ 
        هشتم بخانم۲۸ 
        هشتم جخانم۳۰ 
        هشتم دخانم۲۷۲
        نهم الفآقا۲۵ 
        نهم بآقا۲۴۲
        نهم جآقا۲۳۱
        نهم دآقا۲۴۳
        نهم هـآقا۲۵ 

        آن‌ها مشاهده کردند که از ۱۳ کلاس، معلم اصلی ۸ کلاس خانم و معلم اصلی ۵ کلاس آقا هستند.

        آن‌ها انتظار خود و اتفاقی که افتاده را در جدول زیر مرتب کردند:

        معلم اصلیتعداد کلاس‌هانسبت تقریبی تعداد کلاس‌هاانتظار مااتفاقی که افتاده
        خانم۸۰٫۶۶ جایزه۴ جایزه
        آقا۵۰٫۴۴ جایزه۶ جایزه
        مجموع۱۳

        آن‌ها فکر می‌کنند که آقا بودن معلم‌ها در این نتیجه تأثیر داشته است. البته حدس دیگری هم دارند و آن این است که نمایندگانی از دانش‌آموزان نهم، قرعه‌کشی را انجام داده‌اند و داده‌ها را به نفع این پایه تغییر داده‌اند.

        معلم اصلیتعداد کلاس‌هانسبت تقریبی تعداد کلاس‌هاانتظار مااتفاقی که افتاده
        هفتم۴۰٫۳۳ جایزه۲ جایزه
        هشتم۴۰٫۳۳ جایزه۲ جایزه
        نهم۵۰٫۴۴ جایزه۶ جایزه
        مجموع۱۳
        Element #4

        گروه چهارم، راه حل گروه سوم را دیدند و تصمیم گرفتند آن را دقیق‌تر کنند و انتظار خود را نه بر اساس تعداد کلاس‌ها، بلکه بر اساس تعداد دانش‌آموزان، محاسبه کنند.

        آن‌ها دو جدول زیر را تهیه کرده‌اند و انتظار خود و اتفاقی که افتاده را در جدول‌ها مرتب کردند:

        معلم اصلیتعداد دانش‌آموزاننسبت تقریبی تعداد دانش‌آموزانانتظار مااتفاقی که افتاده
        خانم۲۲۲۰٫۶۵۶ یا ۷ جایزه۴ جایزه
        آقا۱۲۱۰٫۳۵۳ یا ۴ جایزه۶ جایزه
        مجموع۳۴۳
        معلم اصلیتعداد دانش‌آموزاننسبت تقریبی تعداد دانش‌آموزانانتظار مااتفاقی که افتاده
        هفتم۱۰۹۰٫۳۲۳ یا ۴ جایزه۲ جایزه
        هشتم۱۱۳۰٫۳۳۳ یا ۴ جایزه۲ جایزه
        نهم۱۲۱۰٫۳۵۳ یا ۴ جایزه۶ جایزه
        مجموع۳۴۳

        آن‌ها هم فکر می‌کنند که ممکن است آقا بودن معلم‌ها یا کلاس نهمی بودن دانش‌آموزان در این نتیجه تأثیرگذار بوده باشد.

        ]]>         https://math.omidedu.org/lessonplan/randomness/feed/ 0         مسئله‌ «رمز گاوصندوق» https://math.omidedu.org/lessonplan/permutations-and-combinations/ https://math.omidedu.org/lessonplan/permutations-and-combinations/#respond Wed, 05 Nov 2025 15:52:46 +0000 https://math.omidedu.org/?post_type=lessonplan&p=16039

        یک گاوصندوق، رمزی شامل سه تا شماره دارد.

        دو تا از شماره‌ها ۲۸ و ۳ است و شماره دیگر هم، عددی دیگر از صفر تا ۳۰ است!

        با این اطلاعات، رمز گاوصندوق چند حالت مختلف خواهد داشت؟

        گاوصندوق

        شرح فعالیت

        کاربرگ مسئله «رمز گاوصندوق» را به دانش‌آموزان بدهید و از آن‌ها بخواهید تا به صورت انفرادی به آن فکر کنند.

        سپس از دانش‌آموزان بخواهید تا در گروه‌های دو یا سه‌نفره قرار بگیرند و باهم گفت‌وگو کنند و نتایج گفت‌وگوهایشان را در پاسخ به سوال مطرح شده، بنویسند. در هنگام کار گروه‌ها، به آن‌ها سر بزنید و پاسخ‌ها را بررسی و در صورت لزوم گروه‌ها را راهنمایی کنید تا توضیحاتشان را شفاف‌تر کنند.

        در پایان از گروه‌ها دعوت کنید تا پاسخ خود را در کلاس ارائه کنند.

        نمونه‌هایی از پاسخ‌های دانش‌آموزان

          Element #1

          گروه اول پیشنهادشان این است که بچه‌ها به‌صورت تصاوفی رمزهای مختلف را آزمایش کنند تا شانس بیاورند و قفل باز شود.

          البته توضیح می‌دهند که در هر رمزی که می‌زنند باید یکی از عددها ۳ و یکی ۲۸ باشد و دیگری هم عددی از ۰ تا ۳۰.

          این گروه مدلی پیشنهاد نداده‌اند.

          Element #4

          گروه دوم دریافته‌اند که رمز ممکن است ۳۱ حالت داشته باشد. ۳ و ۲۸ و یکی از اعداد ۰ تا ۳۰.

          این گروه قسمتی از راه را رفته‌اند و معلم می‌تواند به آن‌ها راهنمایی کند که مطابق صورت مسئله، ترتیب قرار گرفتن این سه شماره برای باز شدن قفل مهم است.

          Element #2

          گروه سوم حالت‌های زیر را نوشته‌اند:

          ۳ و ۲۸ و x

          ۳ و x و ۲۸

          ۲۸ و ۳ و x

          ۲۸ و x و ۳

          x و ۳ و ۲۸

          x و ۲۸ و ۳

          پیشنهاد آن‌ها این است که بچه‌ها هر حالت را در نظر بگیرند و آن را امتحان کنند. برای این منظور در هر حالت، x را از ۰ تا ۳۰ تغییر دهند.

          بدین ترتیب آن‌ها فکر می‌کنند که هریک از این حالت‌ها، شامل ۳۱ حالت مختلف برای x است و روی‌هم ۳۱ × ۶ حالت برای رمز وجود دارد.

          Element #3

          گروه چهارم با صورت مسئله چالش دارند.

          آن‌ها نمی‌دانند که منظور از این که دو تا از شماره‌ها از تاریخ تولد ۲۸ / ۳ است به چه معنی است و آیا ممکن است هر دوی این شماره‌ها ۳ یا ۲۸ باشند؟
          آن‌ها به حالت‌های زیر فکر کرده‌اند:

          ۳ و ۲۸ و x

          ۳ و x و ۲۸

          ۲۸ و ۳ و x

          ۲۸ و x و ۳

          x و ۳ و ۲۸

          x و ۲۸ و ۳

          همچنین:

          ۳ و ۳ و x

          ۳ و x و ۳

          x و ۳ و ۳

          ۲۸ و ۲۸ و x

          ۲۸ و x و ۲۸

          x و ۲۸ و ۲۸

          ]]>           https://math.omidedu.org/lessonplan/permutations-and-combinations/feed/ 0           مسئله «مدرسه متوسطه» https://math.omidedu.org/lessonplan/likelihood/ https://math.omidedu.org/lessonplan/likelihood/#respond Wed, 05 Nov 2025 15:38:10 +0000 https://math.omidedu.org/?post_type=lessonplan&p=15899

          دو دوست قرار است به یک مدرسه متوسطه با ۱۰ کلاس ۲۹ نفره بروند.

          کلاس‌بندی تصادفی انجام می‌شود.

          احتمال این که این دو دوست هم‌کلاس شوند، چقدر است؟

          مدرسه متوسطه

          شرح فعالیت

          کاربرگ مسئله «مدرسه متوسطه» را به دانش‌آموزان بدهید و از آن‌ها بخواهید به صورت انفرادی به آن فکر کنند.

          سپس از دانش‌آموزان بخواهید تا در گروه‌های دو یا سه‌نفره قرار بگیرند و باهم گفت‌وگو کنند و نتایج گفت‌وگوهایشان را در پاسخ به سوال مطرح شده، بنویسند. در هنگام کار گروه‌ها، به آن‌ها سر بزنید و پاسخ‌ها را بررسی و در صورت لزوم گروه‌ها را راهنمایی کنید تا توضیحاتشان را شفاف‌تر کنند.

          در پایان از گروه‌ها دعوت کنید تا پاسخ خود را در کلاس ارائه کنند.

          نمونه‌هایی از پاسخ‌های دانش‌آموزان

            Element #1

            اولین گروه بر این باورند که شانس قرار گرفتن دو دوست در یک کلاس، ۱ در ۱۰۰ است.
            استدلال آن‌ها چنین است: چون ۱۰ کلاس وجود دارد و هر دانش‌آموز ۱ شانس از ۱۰ برای انتخاب شدن در کلاس اول دارد، بنابراین احتمال این‌که هر دو در همان کلاس باشند برابر است با حاصل ضرب یک‌دهم در یک‌دهم.
            این احتمال چندان زیاد نیست و برخی از دانش‌آموزان گروه استدلال می‌کنند که اگر مدرسه کوچک‌تر و تعداد کلاس‌ها کمتر بود، احتمال قرار گرفتن دو دوست در یک کلاس افزایش می‌یافت.

            این راه‌حل، احتمال قرار گرفتن دو دوست در کلاس اول را محاسبه کرده است و معلم می‌تواند از این گروه بخواهد تا به دیگر موقعیت‌هایی که ممکن است این دو نفر در یک کلاس باشند (مثلاً دومین، سومین یا… دهمین کلاس) هم فکر کنند.

            Element #2

            راه‌حل دومین گروه اندکی پیچیده‌تر از گروه اول است.
            در این مدل همچنان مقدار کلی احتمال همان ۱ در ۱۰۰ است، اما حل‌کنندگان نکته‌ای اضافه کرده‌اند: این‌که یکی از دو دانش‌آموز در یک کلاس قرار بگیرد و دیگری نه، یعنی حالتی شرایط مسئله برآورده نمی‌شود، خیلی احتمال بیشتری دارد.

            در این پاسخ مثالی برای روشن شدن این ادعا آورده شده است:
            اگر «مهراد» در کلاس اول و «ماهان» در کلاس دوم، سوم، چهارم، پنجم، ششم، هفتم، هشتم، نهم یا دهم قرار گیرد، آنگاه شرط مورد نظر برقرار نیست، زیرا مسئله درباره‌ی احتمال بودن هر دو در یک کلاس است.

            در این راه‌حل عدد دقیقی برای احتمال چنین رویدادی محاسبه نشده، اما به درستی اشاره شده است که احتمال جدا شدن آن‌ها بسیار بیشتر از با هم بودنشان است.

            معلم می‌تواند از این گروه بخواهد که احتمال حالت‌های مختلف را حساب کنند.

            Element #3

            گروه سوم شرایط خاصی را در نظر گرفته‌اند!
            آن‌ها فکر کردند که اگر با قرعه‌کشی اعضای هر کلاس تعیین و به ترتیب معرفی شوند، با اعلام شدن هر کلاس احتمال باهم بودن در کلاس‌های بعدی را می‌توان دقیق‌تر محاسبه کرد.

            جدول زیر احتمال باهم بودن در هر کلاس را در چنین شرایطی نشان می‌دهد:

            کلاساحتمال
            ۱(1/10)² = 1.00%
            ۲(1/9)² = 1.23%
            ۳(1/8)² = 1.56%
            ۴(1/7)² = 2.04%
            ۵(1/6)² = 2.78%
            ۶(1/5)² = 4.00%
            ۷(1/4)² = 6.25%
            ۸(1/3)² = 11.11%
            ۹(1/2)² = 25.00%
            ۱۰(1/1)² = 100.00%

            این گروه توضیح دادند که برای محاسبه‌ی هر احتمال، عدد ۱ بر تعداد کلاس‌های باقی‌مانده تقسیم شده و سپس به توان دو رسانده می‌شود.
            آن‌ها همچنین مشاهده کردند که با حذف تدریجی کلاس‌ها، احتمال باهم بودن افزایش می‌یابد، هرچند حتی وقتی فقط دو کلاس باقی مانده‌اند، این احتمال هنوز کمتر از ۵۰٪ است؛ اما وقتی فقط یک کلاس مانده است و اسم آن‌ها هنوز گفته نشده، ۱۰۰٪ باهم در آن کلاس خواهند بود.

            معلم می‌تواند به دانش‌آموزان پیشنهاد کند که به این موضوع فکر کنند که چه حالت‌هایی را در نظر گرفته و چه حالت‌هایی را در نظر نگرفته‌اند.
            این گروه گرچه با فرضی که اضافه کرده‌اند، درست پیش رفته‌اند، اما با داشتن این جدول نمی‌توانند احتمال هم‌کلاس شدن دو دوست در حالت کلی مسئله را پیدا کنند.

            Element #4

            گروه چهارم به این فکر کرده‌اند که مهراد ممکن است در هر کدام از کلاس‌ها باشد و شانس ماهان برای هم‌کلاس شدن با او، یک‌دهم است.

            البته آن‌ها حس می‌کنند که پاسخشان خیلی ساده است و مطمئن نیستند که درست فکر کرده باشند.

            مدل ساده این گروه به درستی مسئله را نشان داده است.
            معلم می‌تواند به این گروه توصیه کند که تعداد کلاس‌ها را تغییر دهند. مثلاً فرض کنند که مدرسه دو تا کلاس دارد! و بررسی کنند که آیا مدلشان پاسخی منطقی می‌دهد یا نه.

            ]]>             https://math.omidedu.org/lessonplan/likelihood/feed/ 0             حداقل ۲ تا در پرتاب تاس https://math.omidedu.org/lessonplan/at-least-two/ https://math.omidedu.org/lessonplan/at-least-two/#respond Sat, 26 Oct 2024 07:35:05 +0000 https://math.omidedu.org/?post_type=lessonplan&p=14640

            دستور بازی را بخوان و به کمک یک تاس آن را چند بار انجام بده.

            فکر می‌کنی بهتر است چند بار تاس را پرتاب کنیم تا امتیاز بیشتری بگیریم؟

            حداقل دو تا در پرتاب تاس

            شرح فعالیت

            گام اول؛ توضیح روش بازی

            روش بازی را برای بچه‌ها توضیح دهید.

            روش بازی

            ۱. تصمیم بگیر که می‌خواهی تاس را چند بار پرتاب کنی.
            ۲. به تعداد کل پرتاب‌هایت، اولِ بازی امتیاز منفی می‌گیری.
            ۳. تاس را به همان تعدادی که تصمیم گرفته‌ای پرتاب کن و همه‌ی اعداد روآمده را ثبت کن.
            ۴. به ازای هر کدام از اعداد ۱ تا ۶ که حداقل ۲ بار رو آمده باشند، ۵ امتیاز مثبت برای خودت ثبت کن.
            ۵. اگر از همه‌ی اعداد ۱ تا ۶ حداقل ۲ بار رو آمده باشد، به جای ۳۰ امتیاز مثبت، ۴۰ امتیاز مثبت می‌گیری.
            ۶. امتیاز نهایی، جمع امتیاز منفی اول بازی و امتیازهای مثبت آخر بازی است.

            خوب است قبل از این که از بچه‌ها بخواهید بازی را شروع کنند، یک بار یک بازی فرضی را در کلاس پیش ببرید و امتیاز آن را هم حساب کنید. خیلی محتمل است که بچه‌ها به اشتباه فکر کنند که به ازای هر جفت عدد ۵ امتیاز می‌گیرند. مراقب باشید که این اشتباه در فهم قانون بازی را همان ابتدا برطرف کنید.

            می‌توانید پوستر روش بازی را که در پیوست همین فعالیت موجود است هم در معرض دید بچه‌ها در کلاس قرار دهید تا در صورت لزوم به آن مراجعه کنند. مثلا در مثالی که در پوستر آمده می‌توان تعداد پرتاب‌ها را این طور نشان داد و امتیاز نهایی را محاسبه کرد. در این بازی به ازای ۳ و ۶ که حداقل ۲ بار رو آمده‌اند، ۵ امتیاز مثبت می‌گیریم. یعنی ۱ = ۱۰ + ۹-

            گام دوم؛ بازی

            این بازی اساسا فردی است. اما در صورت صلاح‌دید می‌توانید از بچه‌ها بخواهید که در گروه‌های دو نفره قرار بگیرند و برای هم تاس بریزند و بازی کنند. این کار باعث می‌شود هنگام بازی، تجربه‌ی دوستشان را ببینید و به صورت طبیعی فرصت گفت‌وگو برایشان فراهم شود.

            موقع انجام بازی همچنان به بچه‌ها سر بزنید و مراقب باشید که امتیازهایشان را درست حساب کنند. ضمنا در این زمان می‌توانید از آن‌ها سوالاتی شبیه سوالات پایین بپرسید:

            • چطور امتیازت را پیدا کردی؟
            • چرا می‌خواهی تعداد پرتاب‌هایت را نسبت به بار قبل کم/زیاد کنی؟
            • حدس می‌زنی این بار امتیازت چند بشود؟
            گام سوم؛ گفت‌وگوی جمعی

            وقتی هر کدام از بچه‌ها حداقل دو سه بار بازی را انجام دادند، آن‌ها را برای یک گفت‌وگوی جمعی آماده کنید. کل این گفت‌وگو حول این سوال اصلی شکل می‌گیرد:

            • بهترین حالت تعداد پرتاب‌ها برای اینکه بیشترین امتیاز نهایی را کسب کنیم، چند است؟

            می‌توانید این سوال اصلی را پای تخته بنویسید. اما احتمالا در مسیر گفت‌وگو بچه‌ها سوال‌های دیگری می‌پرسند و یا جملاتی می‌گویند که باعث می‌شود شما بتوانید سوالات دیگری به این گفت‌وگو اضافه کنید. مثلا:

            • آیا خوب است تعداد پرتاب‌ها خیلی کم باشد؟
            • آیا خوب است تعداد پرتاب‌ها خیلی زیاد باشد؟
            • اگر نخواهیم خیلی ریسک کنیم و مطمئن باشیم که امتیاز ما یک عدد مثبت می‌شود – اما بزرگی آن مهم نباشد – خوب است چه تعداد پرتاب کنیم؟
            • اگر چند تا پرتاب کنیم مطمئن هستیم که امتیازمان منفی می‌شود؟
            • بیشتر از چند تا پرتاب باعث می‌شود که امتیازمان قطعا منفی بشود؟
            • اگر مثلا ۹ بار تاس را پرتاب کنیم، چه امتیازهایی ممکن است داشته باشیم؟
            • بیشترین امتیازی که می‌شود در این بازی کسب کرد چند است؟
            نمونه‌ای از پاسخ‌های دانش‌آموزان
              ۱

              آیا خوب است تعداد پرتاب‌ها خیلی کم باشد؟

              من عددهای کوچک را امتحان کردم و از آن‌ها تجربه‌ی خیلی خوبی نداشتم. حتی ممکن است ۵ بار تاس را پرتاب کنیم و ۵ تا عدد مختلف بیاید. در این حالت امتیاز ما ۵- می‌شود. البته خوبی پرتاب‌های کم این است که مطمئن هستیم امتیازمان خیلی هم منفی نمی‌شود.

              ۲

              اگر تاس را ۹ بار پرتاب کنیم، در نهایت چه امتیازهایی ممکن است داشته باشیم؟

              اگر تاس را ۹ بار پرتاب کنیم، ۹- امتیاز همان اول بازی داریم. اگر خیلی خوش‌شانس باشیم ۴ تا جفت می‌توانیم داشته باشیم و این باعث می‌شود ۲۰ امتیاز بگیریم. در این صورت ۱۱=۲۰+۹-

              امتیازهای دیگری که می‌توانیم بگیریم ۱۵، ۱۰، ۵ و ۰ هستند. یعنی وقتی فقط ۳ جفت داشته باشیم تا وقتی که هیچ جفتی نداشته باشیم. در این صورت همه‌ی امتیازها این طوری پیدا می‌شوند.

              ۱۱ = ۲۰ + ۹-
              ۶ = ۱۵ + ۹-
              ۱ = ۱۰ + ۹-
              ۴- = ۵ + ۹-
              ۹- = ۰ + ۹-

              در مورد حالتی که هیچ جفتی نداشته باشد، کمی شک دارم. می‌توانی رو آمدن اعداد را طوری تصور کنی که هیچ جفتی نداشته باشیم؟

              به نظر می‌رسد که شدنی نیست. من فرض کردم که تا ۶ پرتاب اول همه‌ی اعداد ۱ تا ۶ هر کدام یک بار رو بیایند. اما بعد از این هر عددی که رو بیاید حداقل یک جفت درست می‌شود. پس به نظر می‌رسد امتیاز ۹- شدنی نیست.

              ۳

              آیا خوب است تعداد پرتاب‌ها خیلی زیاد باشد؟

              من ۵۰ را امتحان کردم و فهمیدم عدد خوبی نیست. چون حتی اگر ۴۰ امتیاز هم بگیریم، باز هم امتیاز نهایی منفی می‌شود.

              می‌توانی بگویی از چه عددی بیشتر خوب نیست؟

              فکر می‌کنم از ۴۰ بیشتر خوب نیست. چون حتی اگر بیشترین امتیاز مثبت یعنی ۴۰ تا را بگیریم، باز هم ۴۰ پرتاب باعث می‌شود ۴۰ امتیاز منفی داشته باشیم. پس جمع امتیازمان در این حالت از ۰ بالاتر نمی‌شود.

              ۴

              بیشترین امتیازی که می‌شود در این بازی کسب کرد چند است؟

              بیشترین امتیاز مثبتی که می‌توانیم بگیریم ۴۰ است. اگر خیلی خوش‌شانس باشیم، در تعداد پرتاب‌های کم هم ممکن است بتوانیم ۶ تا جفت از اعداد داشته باشیم. اما در این حالت حداقل ۱۲ بار باید تاس را پرتاب کنیم. پس فکر نکنم بهتر از این حالتی داشته باشیم.

              در این صورت امتیاز نهایی چقدر خواهد بود؟

              ۲۸. چون جمع ۴۰ و ۱۲- می‌شود ۲۸.

              ۵

              بهترین حالت تعداد پرتاب‌ها برای اینکه بیشترین امتیاز نهایی را کسب کنیم، چند است؟

              من فکر نمی‌کنم نمی‌شود یک عدد دقیق گفت. اما فکر می‌کنم بین ۱۲ تا ۲۰ خوب باشد. چون این طوری حداقل می‌شود که از هر عدد دو تا بیاید. اما تعداد بیشتر را هم در نظر می‌گیریم برای اینکه اگر خوش‌شانس نبودیم هم باز جفت‌ها را داشته باشیم.

              گام چهارم؛ بازاندیشی

              از بچه‌ها بپرسید:

              • فکر می‌کنید در این بازی چه چیزی باعث شد امتیاز بیشتری بگیرید، شانس یا استدلال؟
              ]]>               https://math.omidedu.org/lessonplan/at-least-two/feed/ 0               بازی شانسی اسکانک https://math.omidedu.org/lessonplan/skunk-game/ https://math.omidedu.org/lessonplan/skunk-game/#respond Tue, 15 Oct 2024 17:55:35 +0000 https://math.omidedu.org/?post_type=lessonplan&p=13573

              بازی اسکانک یک بازی هیجان‌انگیز شانسی است.

              دستورالعمل بازی را بخوانید.

              فکر می‌کنید چرا نام این بازی را اسکانک گذاشته‌اند؟

              اسکانک

              شرح فعالیت

              گام اول؛ توضیح بازی

              نام این بازی اسکانک (SKUNK) به معنی راسو است.

              برای دانش‌آموزان روش بازی را توضیح دهید. روش این بازی کمی پیچیده است و نیاز به توضیحات مفصل دارد. شاید خوب باشد قبل از شروع اصلی بازی، یک بار بازی را تا نیمه‌ها به صورت آزمایشی انجام دهید تا بچه‌ها روش آن را به خوبی یاد بگیرند.

              روش بازی

              ۱. به هر نفر یک صفحه‌ی ثبت نتایج بدهید که روی آن پنج ستون با حروف کلمه‌ی SKUNK دیده می‌شود (می‌توانید از برگه اسکانک که پیوست شده است استفاده کنید). هر ستون برای ثبت نتایج یک دور بازی است؛ بازی بعد از پنج دور به پایان می‌رسد.

              ۲. در ابتدای هر دور بازی، همه‌ی بازیکنان باید ایستاده باشند (ایستادن به این معنی است که در بازی هستند).

              ۳. دو تا تاس را بیندازید. اگر عدد یکی از تاس‌ها یا هر دو تا تاس ۶ بود، آن دور بازی تمام است و امتیاز همه‌ی آن‌هایی که در بازی هستند، صفر می‌شود. در غیر این صورت، حاصل جمع عددهای روی دو تا تاس را بگویید تا همه‌ی آن‌هایی که در بازی هستند، آن حاصل جمع را در ستونِ آن دور بازی (مثلا ستون S در دور اول بازی) بنویسند.

              ۴. حالا هر بازیکنی دو گزینه دارد و می‌تواند انتخاب کند!

              • گزینه‌ی الف) می‌تواند همانطور بایستد و بازی را در آن دور ادامه دهد، البته باید توجه کند که اگر یکی از تاس‌ها یا هر دو تاس ۶ بیاید، امتیاز آن دور بازی برای او و همه‌ی آن‌هایی که ایستاده‌اند و هنوز در بازی هستند، صفر می‌شود.
              • گزینه‌ی ب) می‌تواند بنشیند و مجموع عددهایی را که تا به حال در آن دور بازی ثبت کرده است، به عنوان امتیاز برای خود ذخیره کند، البته باید توجه کند که پس از نشستن، از بازی بیرون رفته است و امتیاز او در این دور بازی دیگر افزایش نمی‌یابد.

              ۵. بازی برای آن‌هایی که ایستاده‌اند (یعنی هنوز در بازی هستند)، ادامه می‌یابد.

              ۶. وقتی یک دور بازی با ۶ آمدن یک تاس یا هر دو تا تاس یا با نشستن همه‌ی بازیکنان، به پایان رسید، همه دوباره می‌ایستند و دور جدید آغاز می‌شود.

              ۷. در شروع هر دور همه‌ی بازیکنان – حتی کسانی که دور قبل از بازی کنار رفته بودند – در بازی هستند.

              دقت کنید که:

              الف) در هر دور از بازی هر بازیکن تنها یک بار می‌تواند تصمیم بگیرد و از بازی کنار برود و پس از آن دیگر نمی‌تواند وارد بازی شود.

              ب) اگر در یک پرتاب هر دو تا تاس ۶ آمد، امتیاز همان مرحله و همه مراحل قبلی برای آن‌هایی که ایستاده‌اند، صفر می‌شود.

              ج) در هر دور بازی اگر در اولین پرتاب ۶ آمد، می‌توانید پرتاب را تکرار کنید.

              گام دوم؛ انجام بازی

              بسته به تعداد دانش‌آموزان کلاس می‌توانید بازی را در کلاس انجام دهید و یا کل کلاس را به دو سه گروه تقسیم کنید. در نظر بگیرید که احتمالا انجام بازی بدون حضور معلم – مخصوصا در پایه‌های پایین‌تر – کار سختی باشد.

              پس از پایان بازی می‌توانید این سوالات را از بچه‌ها بپرسید:

              • چطور تصمیم می‌گرفتید که چه زمانی امتیازتان را ذخیره کنید؟
              • آیا می‌توانستید حدس بزنید که چه زمانی شش خواهد آمد؟
              • چقدر احتمال دارد که هر دو تاس شش بیایند؟ خیلی؟ کم؟
              • چه تجربه‌هایی از این بازی به‌دست آوردید؟
              گام سوم؛ بازاندیشی

              در پایان کلاس و بعد از چند دور بازی می‌توانید با پرسیدن این سوالات به بچه‌ها کمک کنید که روی تجربه‌ی بازی بازاندیشی کنند:

              • بازی را دوست داشتید؟
              • فکر می‌کنید چرا نام این بازی را اسکانک گذاشته‌اند؟
              • فکر می‌کنید دفعه‌ی بعد بازی‌تان بهتر می‌شود؟
              • آیا می‌توانید در دور بعد نتیجه‌ی بازی را پیش‌بینی کنید؟
              ]]>               https://math.omidedu.org/lessonplan/skunk-game/feed/ 0               عدد کی بزرگ‌تره؟ https://math.omidedu.org/lessonplan/which-number-is-bigger/ https://math.omidedu.org/lessonplan/which-number-is-bigger/#respond Sat, 22 Jun 2024 04:30:00 +0000 https://math.omidedu.org/?post_type=lessonplan&p=13184

              تاس بریز و عدد رو آمده را روی یکی از خانه‌های جدول ارزش‌مکانی خودت قرار بده.

              برای اینکه عددِ تو از عددِ دوستت بزرگ‌تر شود، چه کاری انجام می‌دهی؟

              شرح فعالیت

              گام اول؛ بازی دو نفره

              بچه‌ها را به گروه‌های دو نفره تقسیم کنید و به هر کدام یک تاس بدهید. می‌توانید از تاس معمول ۱ تا ۶ استفاده کنید یا از تاس‌های ده‌وجهی با رقم‌های ۰ تا ۹ استفاده کنید. اگر چنین تاسی در اختیار ندارید می‌توانید از برنامه‌های شبیه‌ساز تاس هم استفاده کنید.

              به هر گروه دو تا جدول ارزش‌مکانی بدهید. این جدول‌ها در فایل پیوست در دسترس هستند.

              روش بازی را برای بچه‌ها توضیح دهید.

              روش بازی

              بازی به نوبت انجام می‌شود. هر نفر یک جدول ارزش‌مکانی در اختیار دارد.

              هر نفر یک تاس پرتاب می‌کند و عدد رو آمده را در یکی از خانه‌های جدول ارزش‌مکانی خودش – که قبلا پر نشده – قرار می‌دهد.

              در نهایت هر کس بتواند عدد بزرگ‌تری بسازد برنده است.

              گام دوم؛ گفت‌وگوی کلاسی

              بعد از اینکه بچه‌ها چند دور بازی را انجام دادند، آن‌ها را برای یک گفت‌وگوی گروهی دور هم جمع کنید. از آن‌ها بپرسید:

              • عددهای رو آمده را چه‌طور در جدول ارزش‌مکانی گذاشتی که شانس بیشتری برای بردن داشته باشی؟

              در بازی ممکن است موقعیت‌هایی پیش بیاید که قبل از ساختن کامل اعداد، نفر برنده معلوم باشد. می‌توانید راجع به این موقعیت‌ها از بچه‌ها سوال کنید و از آن‌ها بخواهید استدلال کنند که چرا می‌شود بدون کامل شدن اعداد آن‌ها را با هم مقایسه کرد.

              گام سوم؛ بازاندیشی
              • از بازی امروز چه چیزی راجع به اعداد آموختی؟
              ]]>               https://math.omidedu.org/lessonplan/which-number-is-bigger/feed/ 0               مسابقه‌‌ی اسب‌ها با دو تاس https://math.omidedu.org/lessonplan/horse-racing-with-two-dice/ https://math.omidedu.org/lessonplan/horse-racing-with-two-dice/#comments Fri, 26 Apr 2024 04:30:00 +0000 https://math.omidedu.org/?post_type=lessonplan&p=9815

              هرکس یکی از اسب‌ها را انتخاب می‌کند و بازی آغاز می‌شود. همزمان دو تاس انداخته می‌شود و مجموع عددهای روی تاس‌ها تعیین می‌کند که کدام اسب باید یک خانه جلو برود.

              برنده کسی است که اسبش زودتر به خانه‌ی پایان برسد.

              • نظرتان در مورد بازی چه بود؟ آیا بازی عادلانه بود؟
              • چه پیشنهادی برای عادلانه‌تر شدن بازی دارید؟
              شرح فعالیت
              گام اول؛ مواجهه

              برای شروع از دانش‌آموزان بپرسید که آیا تا به حال، مسابقه‌ی اسب دوانی دیده‌اند؟ چه چیزی در مورد این مسابقه می‌دانند؟ چه نظری در مورد آن دارند؟

              سپس به آن‌ها بگویید که امروز می‌خواهیم ابتدا یک فعالیت و سپس یک بازی انجام دهیم که اسم آن «مسابقه‌ی اسب‌ها» است.

              گام دوم؛ بازی گروهی در صفحه‌ی بازی اولیه

              برای دانش‌آموزان توضیح دهید که این بازی را در دو مرحله انجام خواهیم داد و در نهایت دو بازی را از نظر منصفانه بودن مقایسه خواهیم کرد.

              برای انجام مرحله‌ی اول بازی، دانش‌آموزان را گروه‌بندی کنید. حداکثر تعداد اعضای یک گروه ۱۱ نفر است، اما ممکن است انجام فعالیت در این حالت خیلی سخت باشد. انتخاب بهتر می‌تواند این باشد که گروه‌های ۳ یا ۴ نفره تشکیل دهید. در این حالت می‌شود هر کدام از بچه‌ها ۲ یا ۳ اسب را انتخاب کنند.

              روش بازی را برای دانش‌آموزان توضیح دهید و از آن‌ها بخواهید تا در گروه‌های‌شان بازی را انجام دهند. بهتر است روش بازی را به صورت کتبی هم در دسترس دانش‌آموزان قرار بدهید.

              روش بازی در صفحه‌ی اولیه

              با توافق همدیگر، هر کدام یک ردیف را انتخاب کنید و مهره‌ی خود را در خانه‌ی شروع آن ردیف، یعنی جایی که اسب کشیده شده است، قرار دهید.

              مسابقه‌ی اسب‌ها با دو تاس

              یک نفر می‌تواند مسئول پرتاب تاس‌ها شود یا این‌که نوبتی تاس بیندازید.

              قبل از شروع بازی، نتیجه را پیش‌بینی کنید. یعنی پیش‌بینی کنید که کدام اسب، زودتر از همه به خط پایان خواهد رسید. شماره‌ی این اسب را در برگه‌ی خودتان بنویسید.

              هر بار که تاس‌ها پرتاب می‌شوند، عدد روی تاس‌ها را با هم جمع کنید. اگر کسی مهره‌اش روی ردیف حاصل جمع است، باید آن را یک خانه جلو ببرد. مثلا وقتی تاس‌ها را پرتاب می‌کنید و عدد ۳ و عدد ۲ رو می‌آیند، باید نگاه کنیم که آیا روی ردیف شماره‌ی ۵ مهره‌ای هست یا نه. اگر در این ردیف مهره‌ای باشد باید یک خانه جلو برود. اگر روی ردیف مربوط به عدد تاس مهره‌ای نبود دوباره تاس‌ها را پرتاب کنید.

              بازی با رسیدن اولین مهره به خانه‌ی پایان، تمام می‌شود. صاحب مهره می‌تواند در دور بعدی مسئول پرتاب تاس شود. در پایان بازی مسیری که اسب‌ها رفته‌اند را رنگ کنید و دور بعدی بازی را روی برگه‌ی دیگری انجام دهید. صاحب مهره می‌تواند در دور بعدی مسئول پرتاب تاس شود.

              وقتی بازی تمام شد مسیری که اسب‌ها رفته‌اند را رنگ کنید و دور بعدی بازی را روی برگه‌ی سفید دیگری انجام دهید. این برگه‌ها را به دوستانتان نشان دهید و برگه‌های آن‌ها را هم ببینید.

              بعد از پایان بازی پیش‌بینی خود را بررسی کنید. آیا پیش‌بینی شما از برنده‌ی مسابقه درست بود؟

              حین انجام بازی به گروه‌ها سر بزنید و به گفت‌وگوهای دانش‌آموزان با یکدیگر گوش دهید. می‌توانید از آن‌ها بپرسید:

              • فکر می‌کنید که اسبِ شماره‌ی چند، زودتر به خط پایان برسد؟ چرا؟

              به دلایل دانش‌آموزان گوش دهید. پیشنهاد می‌شود دلایل آن‌ها را در برگه‌ای با نام خودشان ثبت کنید. اگر در چند فعالیت این کار را انجام دهید می‌توانید به مرور نحوه‌ی توسعه‌ی درک احتمالاتی هر یک از دانش‌آموزان را بررسی کنید.

              گام سوم؛ گفت‌وگوی جمعی

              بعد از اینکه گروه‌ها چندین دور، بازی را انجام دادند، صفحه‌های بازی دانش‌آموزان را جایی که در معرض دیده هم باشد نصب کنید و بعد گفت‌وگوی جمعی را شروع کنید. از دانش‌آموزان بپرسید:

              • آیا نتیجه‌ی هر دور بازی با پیش‌بینی شما قبل از شروع بازی، یکی بود؟ فکر می‌کنید دلیل آن چیست؟
              • اگر بخواهید یک دور دیگر بازی کنید آیا می توانید با قاطعیت پیش‌بینی کنید که کدام اسب زودتر به خط پایان می‌رسد؟ چرا؟
              • اگر این بار بخواهی بازی کنی کدام اسب را به عنوان برنده پیش‌بینی می‌کنی؟
              • آیا بازی عادلانه بود؟ یعنی همه‌ی بازیکنان شانس برنده شدن یکسان داشتند؟ چرا؟
              گام چهارم؛ طراحی صفحه‌ی بازی

              از دانش‌آموزان بخواهید دوباره به گروه‌های خود برگردند و این بار با توجه به تجربه‌ای که در بازی قبل به دست آوردند، صفحه‌ی بازی را طوری طراحی کنند که بازی عادلانه‌تر باشد. به آن‌ها بگویید می‌توانند با تغییر طول مسیر اسب‌های مختلف این کار را انجام دهند. اما تصمیم‌گیری اینکه طول هر ردیف چه‌قدر باشد به عهده‌ی خودشان است.

              هنگام طراحی گروه‌ها به آن‌ها سر بزنید و دلایل آن‌ها را بشنوید. ببینید که چگونه صفحه‌ی بازی را طراحی می‌کنند و برای نحوه‌ی طراحی خود چه دلایلی می‌آورند. خوب است بررسی کنید که آیا دلایل بچه‌ها مستقیما بر پایه‌ی تجربه‌های قبلی‌شان است یا می‌توانند احتمالات کلی‌تری را بررسی کنند. مثلا ممکن است بچه‌ها به دلیل اینکه دفعات قبل مجموع ۶ را زیاد دیده‌اند ردیف مربوط به ۶ را طولانی‌تر کنند. اما گروهی دیگر ممکن است مستقل از بازی‌های قبلی سعی کنند ببینند احتمال کدام عدد بیشتر است.

              در نهایت زمین‌های بازی جدیدی که بچه‌ها طراحی کرده‌اند را هم در جایی روی دیوار نصب کنید.

              گام پنجم؛ بازی گروهی در صفحه‌ی بازی دوم

              صفحه‌ی بازی دوم را به بچه‌ها بدهید و از آن‌ها بخواهید دقیقا با دستورالعمل قبلی بازی را این بار روی صفحه‌ی جدید انجام دهند.

              مسابقه‌ی اسب‌ها با دو تاس صفحه بازی دوم

              از آن‌ها بخواهید که باز هم مسیر اسب‌ها را رنگ‌آمیزی کنند یا مکان نهایی آن‌ها را مانند تصویر پایین علامت‌گذاری کنند. در پایان برگه‌های گروه‌ها را برای مشاهده‌ی همه در جایی نصب کنید.

              گام ششم؛ دوباره گفت‌وگوی جمعی

              بعد از چند دور بازی، دانش‌آموزان را دور هم جمع کنید و از آن‌ها بپرسید:

              • در طراحی صفحه‌های بازی خودتان، بر چه اساسی طول مسیرها را تغییر دادید؟
              • کدام یک از صفحات بازی اول و دوم را عادلانه‌تر می‌دانید؟ چرا؟
              • به طور کلی فکر می‌کنید اگر دو تاس ۶وجهی را پرتاب کنیم و اعداد روآمده را با هم جمع کنیم کدام حاصل‌جمع‌ها بیشتر ساخته می‌شوند و کدام‌ها کمتر؟
              گام هفتم؛ بازاندیشی

              در پایان می‌توانید از دانش‌آموزان بپرسید:

              چه چیزی در این بازی برای شما جالب بود؟

              ]]>               https://math.omidedu.org/lessonplan/horse-racing-with-two-dice/feed/ 1               قدم زدن تصادفی https://math.omidedu.org/lessonplan/random-walks/ https://math.omidedu.org/lessonplan/random-walks/#comments Fri, 15 Mar 2024 01:00:00 +0000 https://math.omidedu.org/?post_type=lessonplan&p=9496

              یک مهره در خانه‌ی شروع قرار دهید. سکه بیندازید. اگر سکه رو آمد، مهره را یک خانه به راست و اگر پشت آمد، به چپ حرکت دهید. این کار را تا خارج شدن مهره از یک طرف ادامه دهید. سمت بیرون رفتن مهره، برنده‌ی بازی را مشخص می‌کند. بازی کنید و قدم زدن تصادفی مهره روی صفحه‌ی بازی را تماشا کنید.

              قدم زدن تصادفی
              قدم زدن تصادفی

              شرح فعالیت

              گام اول؛ بازی دو نفره

              به دانش‌آموزان بگویید که قرار است یک بازی دو نفره انجام دهند. بازی «قدم زدن تصادفی» را به آن‌ها معرفی کنید و نحوه‌ی انجام بازی را توضیح دهید. دانش‌آموزان را به گروه‌های دو نفره تقسیم کنید و به هر گروه یک صفحه‌ی بازی، یک سکه و یک مهره بدهید.

              نحوه‌ی انجام بازی

              از دانش‌آموزان بخواهید تا با توافق همدیگر، هر کدام نامشان را یک طرف صفحه‌ی بازی بنویسند.

              در ابتدای بازی، مهره را در خانه‌ی شروع قرار دهید.

              یک نفر می‌تواند مسئول پرتاب سکه شود یا این‌که نوبتی سکه بیندازید.

              اگر سکه رو آمد، مهره را یک خانه به سمت راست حرکت دهید و اگر سکه پشت آمد، مهره را یک خانه به سمت چپ ببرید.

              زمانی که سکه روی یکی از خانه‌های پایان برود، بازی تمام می‌شود. بازیکنی که نامش همان طرف نوشته شده می‌تواند در دور بعدی، مسئول پرتاب سکه شود.

              خوب است در طول بازی داده‌های مربوط به پرتاب سکه را ثبت کنید. این کار را به دو شکل می‌توانید انجام دهید. در حالت اول از بچه‌ها بخواهید روی این نمودار – که در کاربرگ هم آمده است – به تعداد بارهای رو یا پشت آمدن سکه‌ها، خانه‌ها را رنگ کنند. از بچه‌ها بخواهید که اگر خانه کم آوردند، خودشان خانه‌هایی به نمودار اضافه کنند.

              برای حالت دوم از بچه‌ها بخواهید برای «رو» و «پشت» دو رنگ متفاوت را در نظر بگیرند. از آن‌ها بخواهید که از سمت چپ نمودار شروع کنند و هر بار بعد از پرتاب سکه با توجه به چیزی که رو آمده، خانه‌ها را یکی‌یکی رنگ کنند.

              حین انجام بازی به گروه‌ها سر بزنید و به گفت‌وگوهای دانش‌آموزان با یکدیگر گوش دهید. می‌توانید از آن‌ها بپرسید:

              • فکر می‌کنی این دفعه، سکه رو بیاید یا پشت؟ دلیلت چیست؟
              • فکر می‌کنید که سکه از کدام طرف خارج می‌شود؟ چرا؟

              به دلایل دانش‌آموزان گوش دهید. پیشنهاد می‌شود دلایل آن‌ها را در برگه‌ای به نام خودشان ثبت کنید. اگر در چند فعالیت این کار را انجام دهید می‌توانید به مرور نحوه‌ی توسعه‌ی درک احتمالاتی هر یک از دانش‌آموزان را بررسی کنید. در این زمینه بخش شواهد یادگیری را هم ببینید.

              گام دوم؛ گفت‌وگوی جمعی

              بعد از اینکه گروه‌ها یک یا چند دور بازی را انجام دادند، نمودارهای گروه‌ها را روی دیوار نصب کنید. بعد آن‌ها را دور هم جمع و گفت‌وگوی جمعی را آغاز کنید. از دانش‌آموزان بپرسید:

              • آیا نتیجه‌ی بازی با انتظار شما یکسان بود؟ چرا؟
              • در بازی شما، چند بار رو و چند بار پشت سکه آمد؟
              • آیا شما می‌توانستید رو یا پشت آمدن سکه را پیش‌بینی کنید؟
              گام سوم؛ بازاندیشی

              در پایان می‌توانید از دانش‌آموزان بپرسید:

              • نظرتان در مورد این بازی چه بود؟ آیا آن را دوست داشتید؟ اگر نه، دوست داشتید چگونه می‌بود؟
              • شما چه اسمی روی این بازی می‌گذارید؟
              شواهد یادگیری

              هنگام انجام فعالیت می‌توانید این مورد را به طور خاص مشاهده کنید و نتایج آن را تا حد امکان برای خودتان ثبت کنید.

              • دانش‌آموزان، برنده شدن را نتیجه‌ی چه می‌دانند؟
                برای مثال آیا این جملات در بین صحبت‌هایشان شنیده می‌شود؟ «تو چقدر خوش‌شانس هستی!»، «تو بلدی چه‌طوری سکه رو پرتاب کنی تا «رو» بیاید!»، «این سکه خرابه، همه‌اش رو می‌آد! باید عوضش کنیم» و…
                جملاتی که بچه‌ها می‌گویند به درجات مختلفی ممکن است پدیده‌ی تصادفی را به اراده‌مندی و عاملیت ربط دهند. در واقع ممکن است نتیجه‌ی پرتاب سکه را ناشی از اراده‌ی متافیزیکی (شانس و …) یا عاملیت خودشان یا حتی اراده‌ی ابزار تصادفی ببینند یا آنکه آن را پیشامدی کاملا تصادفی ببینند.
              ]]>               https://math.omidedu.org/lessonplan/random-walks/feed/ 1