جدول یک تا صد – امید ریاضی

ماشین جمع با ۲

پریسا پژوهی — Tue, 20 Aug 2024 07:10:04 +0000

با استفاده از ماشین‌حساب یک ماشین جمع بسازید.

در گروه‌های دو نفره، در هر نوبت یک نفر ماشین جمع بسازد و نفر دیگر عدد خروجی را حدس می‌زند.

چه الگوهایی می‌بینید؟

شرح فعالیت

گام اول؛ ساختن ماشین جمع

از بچه‌ها بخواهید در گروه‌های دو نفره قرار بگیرند. هر گروه به یک ماشین‌حساب ساده نیاز دارد. ابتدا به آن‌ها یاد بدهید که چه‌طور می‌توان با استفاده از ماشین‌حساب یک ماشین ساده برای جمع با یک عدد ساخت.

ساخت ماشین جمع

برای ساختن ماشین جمع با ۲ کافی است دکمه‌های زیر را به ترتیب از چپ به راست وارد کنید:
= ۲ + ۰
حالا هر عددی که می‌خواهید وارد ماشین شود را وارد کنید و بعد دکمه‌ی مساوی را بزنید. ماشین‌حساب ۲ تا بیشتر از آن عدد را به شما نشان خواهد داد.

بعد از اینکه شیوه‌ی ساخت ماشین جمع را به بچه‌ها یاد دادید، از آن‌ها بخواهید هر کدام یک بار این کار را در گروه امتحان کنند تا مطمئن بشوند که ساخت ماشین جمع را یاد گرفته‌اند.

گام دوم؛ بازی دو نفره

وقتی بچه‌ها نحوه‌ی ساخت ماشین جمع را یاد گرفتند. از آن‌ها بخواهید بازی را شروع کنند. هر بار یک نفر عدد ورودی به ماشین را وارد می‌کند و دیگری سعی می‌کند قبل از زدن دکمه‌ی مساوی، حدس بزند که خروجی ماشین چه عددی خواهد بود. او حدسش را می‌گوید و بعد دکمه‌ی مساوی را می‌زند تا ببیند حدسش درست بوده یا نه. بعد نقش‌ها عوض می‌شود.

گام سوم؛ ماشین جمع با چه عددی؟

در این مرحله بازیکن اول – بدون اینکه دوستش متوجه شود – ماشین جمعی با یک عدد نامعلوم می‌سازد. دیگری، با وارد کردن چند عدد ورودی و دیدن خروجی‌ها روی صفحه نمایش، باید حدس بزند که ماشین ساخته شده، ماشین جمع با چه عددی است. بعد از آن، نقش‌ها عوض می‌شود.

گام چهارم؛ گفت‌وگوی جمعی

بعد از اینکه بچه‌ها فرصت کافی برای انجام هر دو بازی داشتند آن‌ها را برای یک گفت‌وگوی جمعی دور هم جمع کنید. از آن‌ها بپرسید:

در این جمع‌هایی که انجام دادید چه الگوهای جالبی دیدید؟

اجازه بدهید که بچه‌ها الگوهای مختلفی که دیده‌اند را مطرح کنند و شما همه‌ی آن‌ها را روی تخته به نحوی که مناسب می‌دانید بازنمایی کنید.

گام پنجم؛ بازاندیشی

از بچه‌ها بپرسید:

امروز چه چیز جدیدی راجع به جمع اعداد یاد گرفتی؟ آن را برای خودت یادداشت کن.

استدلال در حوزه‌ی اعداد

نگار وکیلی — Sun, 02 Jun 2024 05:56:58 +0000

به نظر شما جمله‌ی نوشته شده در کارت روبه‌رو چه وقت‌هایی درست است؟ همیشه، گاهی یا هیچ‌وقت؟

دلیل خود را بیان کنید.

شرح فعالیت

گام اول؛ مواجهه

یکی از کارت‌های «استدلال در حوزه‌ی اعداد» را انتخاب کنید و با دانش‌آموزان به اشتراک بگذارید و از آن‌ها بخواهید تا نظرشان را در مورد جمله‌ی نوشته شده بر روی کارت بگویند. آیا به نظر آن‌ها آن جمله همیشه درست است؟ یا گاهی درست است؟ یا اینکه هیچ وقت درست نیست؟

اهمیت استدلال

از دانش‌آموزان بخواهید استدلال کنند.

از دانش‌آموزان بخواهید تا از ایده‌شان با ارائه‌ی دلیل دفاع کنند. استدلال‌هایشان می‌تواند از جنس بازنمایی به کمک ابزار، بیان مثال یا نامثال برای تایید یا رد یک ادعا یا اینکه از سطح بالاتر و تعمیم‌یافته‌تری برخوردار باشد. نمونه‌هایی از استدلال‌های دانش‌آموزان در انتهای همین طرح آورده شده‌است.

گام دوم؛ کاوش

کارت‌های «استدلال در حوزه‌ی اعداد» مربوط به پایه‌ و موضوع مورد نظر خود را در اختیار گروه‌های دو نفره از دانش‌آموزان قرار دهید و از آن‌ها بخواهید تا آن کارت‌ها را در سه گروه «همیشه»، «گاهی» یا «هیچ‌وقت»، دسته‌بندی کنند. به این صورت که جمله‌ی روی کارت را بخوانند و تصمیم بگیرند که آیا آن جمله همیشه درست است، گاهی درست است و یا اینکه هیچ‌وقت درست نیست.

دسته‌های کارت‌ها در سطوح مختلف طراحی شده‌اند. شما بر اساس نیاز کلاس خود می‌توانید یک یا چند دسته از کارت‌ها را از ابزار کاغذی «استدلال در حوزه‌ی اعداد» انتخاب کنید. دسته‌های کارت‌ها بر اساس افزایش پیچیدگی در زیر نمایش داده‌شده‌اند.

سری اول:

سری دوم:

سری سوم:

سری چهارم:

گام سوم؛ گفت‌وگوی جمعی

یکی یکی کارت‌ها را انتخاب کنید و جمله‌ی آن را بخوانید و از گروه‌ها بخواهید تا ایده‌های خود را در مورد آن‌ها با بقیه‌ی کلاس به اشتراک بگذارند. می‌توانید ابتدا کارت‌های سخت‌تر یا کارت‌هایی که در مورد آن اجماع نظر وجود ندارد را انتخاب کنید.

برای تسهیل گفت‌وگوی ریاضی‌وار در کلاس می توانید سوال‌های زیر را بپرسید:

آیا می‌توانید مثالی (یا نامثال‌هایی) را در این مورد بیان کنید؟
آیا می‌شود همه‌ی مثال‌های مربوط به آن را مورد بررسی قرار داد؟ آیا راه دیگری جز بررسی مثال، برای فهمیدن وجود دارد؟
از کجا می‌دانی که این جمله همیشه درست است؟ دلیل بیاور
برای کارت‌های «گاهی»، آیا می‌توانید توضیح دهید که چه وقت‌هایی درست هستند و چه وقت‌هایی درست نیستند؟
برای کارت‌های «گاهی»، آیا می‌توانید آن‌ها را طوری بنویسید که همیشه درست باشند یا درست نباشند؟

گام چهارم؛ بازاندیشی

در پایان از دانش‌آموزان بپرسید:

چه چیز تازه‌ای امروز یاد گرفتید؟

نمونه‌هایی از پاسخ‌های دانش‌آموزان

وقتی دو عدد را با هم جمع می‌کنیم می‌توانیم جای آن‌ها را با هم عوض کنیم. در این صورت حاصل تغییری نخواهد کرد.

این جمله همیشه درست است. برای مثال ۲۰=۱۲+۸ و ۲۰=۸+۱۲ . همچنین ۱۰۵=۳۱+۷۴ و ۱۰۵=۷۴+۳۱ به هر حال انگار ما داریم دانه‌ها را روی هم می‌ریزیم، اول و دوم بودن فرقی ندارد.

در یک عبارت تفریق می‌توانیم جای عددها را با هم عوض کنیم. در این صورت حاصل تغییری نخواهد کرد.

این جمله همیشه اشتباه است. مثلا وقتی ۳-۴ را داریم اصلا نمی‌توانیم جای آن‌ها را عوض کنیم، چون نمی‌توانیم از عدد ۳ چهار تا کم کنیم.

بازخورد معلم: متوجهم که در اکثر موارد نمی‌توانیم این کار را بکنیم. اما به نظرت هیچ حالتی نداریم که بشود جای اعداد را عوض کرد؟ مثلا اگر با هم مساوی باشند چه‌طور؟

چرا وقتی مساوی باشند انگار عوض کردن جای عددها اصلا عبارت را تغییر نمی‌دهد. پس این جمله گاهی درست است. برای مثال ۰=۹-۹ و ۰=۹-۹ ولی در ۱=۳-۴ نمی‌توانیم جای ۳ و ۴ را عوض کنیم. ۳ منهای ۴ مساوی نیست با ۱. (۱-=۴-۳)

اگر یک عدد فرد را با ۱ جمع کنیم، حاصل یک عدد زوج خواهد بود.

همیشه درست است. چون عددهای فرد را اگر به دسته‌های دوتایی تقسیم کنیم، یکی اضافه دارند. حالا اگر ۱ را اضافه کنیم، با ۱ قبلی یک دسته‌ی دوتایی جدید تشکیل می‌دهند. پس عدد باز هم زوج خواهد بود. برای مثال حاصل عبارت‌های زیر زوج هستند:

۶=۵+۱

۵۲۸=۵۲۷+۱

۹۲۷۶-=۹۲۷۷-+۱

اگر دو عدد فرد را با هم جمع کنیم، حاصل یک عدد فرد خواهد بود.

من فکر می‌کنم این جمله هیچ‌وقت درست نیست زیرا اگر دو عدد فرد مانند ۲۳ و ۵۹ را با هم جمع کنیم جاصل آن می‌شود ۸۲ و ۸۲ یک عدد فرد نیست. همچنین ۹۷ بعلاوه ۶۵ مساوی ۱۶۲ است و ۱۶۲ نیز یک عدد زوج است پس جمله‌ی «وقتی دو عدد فرد را با هم جمع می‌کنیم، جواب یک عدد فرد است» درست نیست.

بازخورد معلم: تو دو عبارت جمع مثال زدی و جمله درست نبود. اما به نظرت از کجا می‌توانیم مطمئن شویم که این عبارت هیچ‌وقت درست نیست؟ شاید گاهی درست باشد.

آخه مشکلی وجود دارد. اگر بخواهیم عددهای فرد را به دسته‌های دو تایی تقسیم کنیم، همیشه یکی اضافه می‌ماند. خوب وقتی دو تا عدد فرد را با هم جمع می‌کنیم یعنی دو تا یک که اضافه بودند را با هم جمع می‌کنیم و این طوری یک دسته‌ی دوتایی جدید ساخته می‌شود. عددی که بتوان کل آن را به صورت دسته‌های دوتایی نوشت زوج است. پس به نظرم حاصل این جمع همیشه زوج است و هیچ‌وقت فرد نخواهد بود.

اگر به عددی ۱۰ تا اضافه کنیم و یکی کم کنیم، مانند این است که به آن عدد ۹ تا اضافه کرده‌ایم.

این جمله همیشه درست است. چون ۹=۱-۱۰. ۹تا اضافه کردن سریع‌تر از ۱۰ تا اضافه و یکی کم کردن است

اگر به عددی ۱۰ تا اضافه کنیم، حاصل عددی مضرب ۱۰ خواهد بود.

این جمله گاهی درست است. بستگی دارد ۱۰ را به چه عددی اضافه کنیم. اگر ۱۰ را با عددی که مضرب ۱۰ است جمع کنیم، حاصل مضرب ۱۰ خواهد شد. برای مثال ۴۰=۱۰+۳۰. ولی در ۵۳=۱۰+۴۳، ۵۳ مضرب ۱۰ نیست.

یکان عددهایی که مضرب ۵ هستند، ۵ است.

این جمله گاهی درست است، چون من یک مثال برای درستی آن دارم و یک مثال برای نادرستی آن. ۱۵ مضرب ۵ است و یکانش ۵ است ولی ۱۰ هم مضرب ۵ است که یکانش ۵ نیست.

حاصل جمع سه عدد متوالی، بر ۳ بخش‌پذیر است.

همیشه درست است. برای مثال ۶=۱+۲+۳ که ۶ بر ۳ بخش‌پذیر است یا ۳۳-=۱۲-+۱۱-+۱۰- که بر ۳ بخش‌پذیر است.

بازخورد معلم: آیا مطمئنی مثال نقضی وجود ندارد؟ چه دلیلی می‌توانی بیاوری که مجبور نباشی همه‌ی مثال‌ها را بررسی کنی؟

جالب است که می‌بینم در همه‌ی این مثال‌ها یکی از اعداد خودش بر ۳ بخش‌پذیر است. پس مشکلی نیست. بین دو تای بعدی هم می‌توانم ببینم که باقی‌مانده‌ی تقسیم یکی بر ۳ مساوی ۱ است و دیگر مساوی ۲. انگار این دو تا با هم یک گروه سه‌تایی تشکیل می‌دهند.

حاصل جمع سه عدد متوالی، بر ۳ بخش‌پذیر است.

من می‌توانم این عددها را این‌طور بنویسم. a و a+۱ و a+۲.

وقتی این سه‌تا را با هم جمع می‌کنم حاصل برابر ۳a+۳ خواهد بود.

بازخورد معلم: خوب چه‌طور مطمئنی که ۳a+۳ بر ۳ بخش‌پذیر است؟

چون می‌توانم در عبارت ۳a+۳ از ۳ فاکتور بگیرم و آن را به صورت (۱+a)۳ بنویسم. یعنی عددی که در ۳ ضرب شده. پس این عبارت حتما مضرب ۳ است.

اگر سه عدد را با هم جمع کنیم، حاصل عددی فرد خواهد بود.

گاهی درست است. حاصل جمع ۳، ۴ و ۵ می‌شود ۱۲ که یک عدد زوج است. حاصل جمع ۱، ۳ و ۵ می‌شود ۹ که یک عدد زوج است.

بازخورد معلم: می‌توانی توضیح بدهی که چه وقت‌هایی درست است و چه وقت‌هایی نادرست؟

بله. من چند تا مثال زدم. حالا می‌توانم آن‌ها را در یک جدول نشان بدهم.

اعداد	حاصل جمع
۳ تا عدد فرد	فرد
۲ عدد فرد و ۱ عدد زوج	زوج
۱ عدد فرد و ۲ عدد زوج	فرد
۳ عدد زوج	زوج

حاصل جمع چهار عدد متوالی، بر ۴ بخش‌پذیر خواهد بود.

این عبارت همیشه اشتباه است. من می‌توانم آن را به کمک جبر بنویسم. من عدد اول را a انتخاب می‌کنم و اعداد بعدی به ترتیب a+۱ و a+۲ و a+۳ خواهند بود.

حالا جمع این چهار عدد مساوی ۶+۴a است. که در آن نمی‌توان از ۴ فاکتور گرفت، اما می‌توان از ۲ فاکتور گرفت و آن را به صورت (۳+۲a)۲ نوشت. بنابراین این عدد مضرب ۲ است، نه ۴.

بازخورد معلم: تو به خوبی نشان دادی که این عدد حتما مضرب ۲ است. اما از کجا می‌دانی که هیچ وقت مضرب ۴ نیست، شاید بعضی اوقات مضرب ۴ باشد.

برای اینکه این عدد مضرب ۴ باشد، لازم است عدد داخل پرانتز عددی زوج باشد که با ضرب شدن در ۲ مضرب ۴ را به وجود بیاورد. اما عدد داخل پرانتز حتما عددی فرد است. پس این حاصل جمع هیچ وقت امکان ندارد که مضرب ۴ باشد.

اگر یک عدد در خودش ضرب شود، حاصل عددی زوج خواهد بود.

گاهی اوقات درست است چون حاصل ۴x۴ برابر ۱۶ است ولی ۹x۹ می‌شود ۸۱ و ۸۱ یک عدد فرد است. پس این جمله گاهی درست است.

اگر دو عدد را در هم ضرب کنیم، حاصل عددی است که از هر دو عدد بزرگ‌تر است.

این جمله گاهی درست است چون اگر یکی از عددها صفر باشد، جواب صفر می‌شود. مثلا وقتی ۵ را در صفر ضرب می‌کنیم پاسخ می‌شود صفر و جواب بزرگتر از ۵ نیست. ولی ۱۰=۲x۵ و ۱۰ بزرگتر از ۲ و ۵ است. پس گاهی این جمله درست است و گاهی درست نیست.

برای عددهای بزرگتر از ۱، حاصل همیشه بزرگتر خواهد بود ولی برای عددهای منفی و عددهای اعشاری بین ۰ و ۱، حاصل همیشه کوچکتر خواهد بود. ۶=۳x۲، ۶ بزرگتر از ۲ و ۳ است در حالی که ۱=۲x۰.۵، ۱ کوچکتر از ۲ است.

هفت‌مربعی در الگوی مربعی

زهره پندی — Fri, 10 May 2024 04:30:00 +0000

سه نفر شکل یک الگوی مربعی با هفت مربع در یک ردیف را کشیده‌اند.

با توجه به شکل‌ها، روش رسم هر کدام را توصیف کن و حساب کن که هرکدام چند تا چوب‌کبریت کشیده است.

اگر هر کدام از این سه نفر بخواهند به همین ترتیب شکل ۱۰۰ مربعی از الگوی ردیف مربع‌های چوب‌کبریتی را بکشند، چه می‌کنند و چند تا چوب‌کبریت می‌کشند؟

شرح فعالیت

گام اول؛ مواجهه

شکل هفت‌مربعی از الگوی مربعی را به دانش‌آموزان نشان دهید و از آن‌ها بپرسید که این شکل با چند چوب‌کبریت ساخته شده است. از آن‌ها بخواهید ایده‌هایشان برای پیدا کردن تعداد چوب‌کبریت‌ها (بدون شمارش یکی یکی آن‌ها) را توضیح دهند.

بازنمایی‌های مختلف و اتصال میان آن‌ها

ایده‌های دانش‌آموزان را در موقعیت معنادار با بازنمایی مناسب نمایش دهید.

هنگامی که دانش‌آموزان روش‌های خود را می‌گویند، می‌توانید روش‌ها را به شکلی که قابل دیدن باشد، بازنمایی و ثبت کنید. بدین ترتیب به طور غیر مستقیم به دانش‌آموزان کمک می‌کنید که ببینند چطور می‌توانند ایده‌هایشان را ثبت کنند.

گام دوم؛ کار گروهی

از دانش‌آموزان بخواهید در گروه‌های دو نفره قرار بگیرند.

کاربرگ «هفت‌مربعی» را در اختیار هر گروه قرار دهید یا تصویر را روی تخته‌ی کلاس بکشید و فعالیت را به صورت شفاهی برای دانش‌آموزان توضیح دهید.

هر گروه باید سه تا از راه‌حل‌ها که به صورت روبه‌رو بازنمایی شده‌اند، توصیف کند و بگوید مسیر فکری در هر روش چطور پیش رفته است و تعداد چوب‌کبریت‌ها چه‌طور حساب شده است.

در ادامه از گروه‌ها بخواهید فکر کنند که اگر از هر کدام از این روش‌ها برای یافتن تعداد چوب‌کبریت‌ها در ردیف‌های ۲۵، ۱۰۰ و یک میلیون مربعی استفاده کنند، به چه پاسخی می‌رسند.

گام سوم؛ باز هم کار گروهی!

نوشته‌ی «فرمولی برای یک الگو» از مجله‌ی برهان که به این طرح پیوست شده‌است را در اختیار گروه‌ها قرار دهید.

در این نوشته تعدادی شکل دیده می‌شود که هر کدام جمله‌ای از یک الگو است (شکل‌های تصویر روبه‌رو).

ایده این است که دانش‌آموزان مانند گام قبل ابتدا با همین یک جمله از الگو کار کنند و سپس با دانستن این که هر الگو چه‌طور رشد می‌کند، جمله‌ی بیست‌و‌پنجم، صدم و یک‌میلیونم آن را پیدا کنند.

از هر گروه بخواهید که یکی از شکل‌ها را انتخاب و روی آن کار کنند.

گام چهارم؛ بازاندیشی

از گروه‌ها بخواهید کار خود را روی یک برگه ثبت کنند و آن را به دیوار بزنند.

از دانش‌آموزان دعوت کنید که کار یکدیگر را ببینند و اگر سوالی از هر گروه داشتند، سوال را در کاغذی کوچک بنویسند و روی آن بچسبانند.

در پایان به هر گروه فرصت دهید که به سوالاتی که از آن‌ها پرسیده شده، پاسخ دهند.

بازی با جفت‌ها

نگار وکیلی — Fri, 05 Apr 2024 04:30:00 +0000

حاصل جمع دو عدد ۱۰ است.

حاصل‌ضرب این دو عدد چند خواهد بود؟

می‌توانی در حاصل‌ضرب‌ها الگویی پیدا کنی؟

شرح فعالیت

گام اول؛ مواجهه

معما را در کلاس مطرح کنید. از بچه‌ها بپرسید اگر حاصل جمع دو عدد ۱۰ باشد، حاصل ضرب آن‌ها چند خواهد بود؟ با شنیدن پاسخ‌های چند نفر از بچه‌ها موضوع را این‌طور جمع‌بندی کنید که حاصل‌ضرب یک عدد ثابت نیست و پاسخ‌های مختلفی برای این سوال وجود دارد.

گام دوم؛ فعالیت گروهی

از بچه‌ها بخواهید در گروه‌های دو نفره کار را شروع کنند. از آن‌ها بخواهید همه‌ی پاسخ‌های ممکن را پیدا کنند و تلاش کنند در این پاسخ‌ها دنبال الگوهایی بگردند.

بین گروه‌ها بگردید و آن‌ها را تشویق کنید که پاسخ‌هایشان را به شکلی سازمان‌دهی کنند و الگوهایی که در پاسخ‌ها دیده‌اند را نشان بدهند.

ضمنا از بچه‌ها بخواهید موقع انجام فعالیت به این سوالات هم پاسخ بدهند.

چه حاصل‌ضرب‌هایی ممکن است به دست آید؟
بزرگترین حاصل‌ضرب کدام است؟
کوچکترین حاصل‌ضرب کدام است؟
حاصل‌ضرب‌ها را چه‌طور سازماندهی کردید تا بتوانید در آن به دنبال الگوها بگردید یا الگوها را به کمک آن نمایش دهید؟

نمونه‌هایی از الگوهایی که بچه‌ها ممکن است بگویند

من همه‌ی اعداد و حاصل‌ضرب‌ها را نوشتم. انگار وسطی از همه بزرگ‌تر است و اولی و آخری از بقیه کوچک‌تر هستند. توی حاصل‌ضرب وسطی دو تا عدد برابر در هم ضرب می‌شوند و بزرگ‌ترین حاصل را می‌سازند.

من از جایی به بعد حاصل‌ضرب‌ها را ننوشتم، چون متوجه شدم حاصل‌ها دوباره تکرار می‌شوند. فاصله‌ی حاصل‌ها اول خیلی زیاد است اما به مرور کم می‌شود. مثلا دو تای آخری فقط یکی با هم تفاوت دارند.

من فهمیدم که فاصله‌ی همه‌ی حاصل‌ضرب‌ها یک عدد فرد است. در واقع اعداد فرد پشت سر هم از ۱ این فاصله‌ها را می‌سازند.

من یک چیز بامزه فهمیدم. من می‌توانم بزرگ‌ترین حاصل را حساب کنم و برای حساب کردن بقیه‌ی حاصل‌ضرب‌ها اصلا لازم نیست ضرب را انجام بدهم و می‌توانم فقط از روی همان عدد بزرگ‌تر بقیه را حساب کنم.

مثلا اگر بخواهم برای ۲۰ حساب کنم می‌دانم که بزرگ‌ترین حاصل ۱۰۰ = ۱۰ × ۱۰ است. بعد برای پیدا کردن بقیه ۱۰۰ را منهای ۱ یا منهای ۴ یا منهای ۹ و غیره می‌کنم تا بقیه‌ی حاصل‌ضرب‌ها را پیدا کنم.

من سعی کردم برای تفاوت حاصل‌ها با بزرگ‌ترین حاصل‌ضرب یک دلیل پیدا کنم. برای این کار بزرگ‌ترین حاصل‌ضرب را روی یک مربع نشان دادم و سعی کردم از روی آن بقیه‌ی حاصل‌ضرب‌ها را بسازم. انگار هر بار که مستطیل جدید را می‌سازیم یک مربع اضافه می‌آید. اولین بار این مربع ۱×۱ است، بار بعدی این مربع ۲×۲ است. یعنی به جز ۲۵ که بزرگ‌ترین حاصل است، دومین حاصل یکی از ۲۵ کمتر است و سومین حاصل ۴ تا از ۲۵ کمتر است. از همین جا می‌فهمم که چهارمین حاصل ۹ تا از ۲۵ کمتر است.

راه‌حل من فقط برای مواقعی خوب است که عدد اولیه زوج باشد. عدد اصلی را a و نصف آن را b در نظر می‌گیرم. یکی از حاصل‌ضرب‌ها این است که b را در خودش ضرب کنیم یعنی b2.

برای جفت‌های دیگری که حاصلشان برابر a شود، دو تا عدد داریم که فاصله‌ی آن‌ها از b یکسان است. مثلا اگر یکی از اعداد b-1 باشد، پس عدد بعدی b+1 خواهد بود. حالا می‌توانیم b-1 را در b+1 ضرب کنیم که به حاصل b2-1 خواهیم رسید. همین‌طور می‌توانیم همه‌ی حاصل‌ها را بنویسیم.

از اینجا می‌فهمیم که بزرگ‌ترین حاصل زمانی است که نصف a در خودش ضرب شود. به جز این می‌فهمیم که فاصله‌ی همه حاصل‌های دیگر با بزرگ‌ترین حاصل به اندازه‌ی یک عدد مربع کامل است.

گام سوم؛ گفت‌وگو

الگوهایی که بچه‌ها پیدا کرده‌اند و روی کاغذ به نحوی نمایش داده‌اند را در کلاس نصب کنید و چند دقیقه به دانش‌آموزان فرصت دهید تا قدم بزنند و به این سؤالات فکر کنند:

چه الگوهایی در کارهای بچه‌ها دیدم که خودم به آن فکر نکرده بودم؟
در بین کارهای بچه‌ها چه روش‌های جالبی برای نشان دادن الگوها دیدم؟

از بچه‌ها بخواهید که الگوهایی که یافته‌اند را نشان دهند، توضیح دهند که چه‌طور آن الگوها را نمایش داده‌اند و چرا فکر می‌کنند این الگوها درست هستند. در مواقع مناسب از بقیه هم دعوت کنید که در مورد کارهای دوستانشان نظر بدهند.

توجه دانش‌آموزان را به روش‌های موثر سازمان‌دهی حاصل‌ضرب‌ها و نمایش الگوها جلب کنید. خوب است کل الگوهای مطرح شده در کلاس را در یک قسمت جمع و نام‌گذاری کنید تا در بخش بعدی فعالیت بچه‌ها بتوانند آن‌ها را بررسی کنند.

گام چهارم؛ باز هم کاوش گروهی

از بچه‌ها بخواهید این بار عددی غیر از ۱۰ را انتخاب کنند و همان فعالیت قبلی را با آن انجام بدهند. از آن‌ها بخواهید که بررسی کنند آیا الگوهایی که در قسمت قبل در کلاس مطرح شده بودند برای عدد جدید هم درست هستند یا تفاوت دارند. از گروه‌ها بخواهید که همچنان نتایج کار خود را به نحوی که برای دیگران قابل فهم باشد ثبت کنند.

گام پنجم؛ باز هم گفت‌وگو

کارهای دانش‌آموزان را بر روی دیوار نصب کنید و به دانش‌آموزان فرصت دهید تا در مورد این سوال فکر کنند:

چه الگوهایی همیشه درست هستند؟

در مورد الگوهایی که برای همه‌ی اعداد درست هستند و الگوهایی که فقط برای عددهای خاصی کار می‌کنند، گفت‌وگو کنید. بچه‌ها را تشویق کنید که برای درستی این الگوها و حدس‌ها دلیل بیاورند.

گام ششم؛ باز اندیشی

در انتها این سوال را مطرح کنید:

جالب‌ترین الگوهایی که در این فعالیت کشف کردید چه بودند؟ چرا برای شما جالب بودند؟

هنگامی که بچه‌ها مشغول فعالیت هستند به آن‌ها سر بزنید و به این موضوعات دقت کنید و در صورت لزوم نکاتی را برای خودتان یادداشت کنید.

آیا دانش‌آموزان صورت مسئله را به خوبی درک و دنبال می‌کنند؟
چون در این فعالیت هم با جمع و هم با ضرب کار می‌کنیم – خصوصا در پایه‌های پایین‌تر – ممکن است بچه‌ها دستورالعمل فعالیت را گم کنند و فراموش کنند که جفت‌هایی که حاصل‌ضربشان را بررسی می‌کنیم از کجا آمده‌اند. در مورد این بچه‌ها خوب است آن‌ها را تشویق کنید که ابتدا همه‌ی جفت‌های با حاصل جمع ۱۰ را مشخص کنند و یک جا بنویسند و بعد به مرحله‌ی بعدی فعالیت بروند.

دانش‌آموزان چه‌طور اطلاعاتشان را برای پیدا کردن الگوها سازماندهی می‌کنند؟
در این مسئله تعدادی عدد داریم و از آن‌جایی که این اعداد از قبل در قالب مشخصی به بچه‌ها داده نشده‌اند، برای پیدا کردن الگو مهم است که دانش‌آموزان بتوانند اطلاعات را به خوبی سازماندهی کنند تا بتوانند الگوها را پیدا کنند. نحوه‌ی این سازماندهی را در کار گروه‌ها ببینید و آن‌ها را تشویق کنید که با نظم مشخصی اعدادشان را مرتب کنند و دنبال الگو بگردند.

دانش‌آموزان چه‌طور الگوهای یافته شده را برای اعداد جدید و با چه دقتی بررسی می‌کنند؟
وقتی قرار است گروه‌ها عدد ۱۰ را تغییر دهند و حدس‌های کلاس را برای عددهای جدید بررسی کنند، هم انتخاب اعداد مهم است و هم اینکه با چه دقتی حدس را در مورد آن عدد بررسی می‌کنند. مثلا بعضی از گروه‌ها ممکن است در انتخاب اعداد جدید به زوج یا فرد بودن آن‌ها توجه کنند، بعضی دیگر ممکن است توجهشان به اعداد مربع کامل جلب شود و … .
در بررسی الگوها در مورد اعداد جدید هم ممکن است بچه‌ها تصادفی اعداد را انتخاب کنند و سازمان‌یافته عمل نکنند.

دوز اعداد صحیح

زهره پندی — Wed, 06 Mar 2024 05:45:21 +0000

این جدول، صفحه‌ی بازی دوز اعداد صحیح است.

برای این بازی دو تا تاس نیاز دارید که روی یکی اعداد ۱ و ۲ و ۳ و ۴- و ۵- و ۶- و روی دیگری اعداد ۱- و ۲- و ۳- و ۴ و ۵ و ۶ نوشته شده باشد. به نوبت بازی کنید و هر دو تا تاس را بیندازید. عددهای روی تاس را به ترتیب دلخواه در یک عبارت جمع یا تفریق قرار دهید و حاصل را به رنگ خودتان رنگ کنید.

برنده‌ی بازی کسی است که زودتر از دیگری ، سه خانه‌ی کنار هم افقی، عمودی یا مورب را به رنگ خود درآورد.

اعداد صحیح

شرح فعالیت

از دانش‌آموزان بخواهید در گروه‌های دو نفره قرار بگیرند. کاربرگ «دوز اعداد صحیح» را در اختیارشان قرار دهید و از آن‌ها بخواهید شرح بازی را بخوانند و با گفت‌وگو باهم مطمئن شوند که بازی را درست متوجه شده‌اند.

وسایل لازم برای بازی یعنی دو رنگ مداد و دو تا تاس عددهای صحیح را هم در اختیار گروه ها بگذارید. برای ساختن تاس ها می‌توانید با گداشتن علامتی کنار برخی عددهای تاس معمولی، تاس‌های لازم را بسازید.

وقتی دانش‌آموزان مشغول بازی شدند به گروه‌ها سر بزنید و مطمئن شوید که بازی را درست انجام می‌دهند.

بعد از یک دور بازی، ابزار کاغذی «صفحه‌ی بازی دوز اعداد صحیح» را در اختیار دانش‌آموزان قرار دهید (می‌توانید این صفحه‌های بازی را پشت همان کاربرگ قبلی چاپ کنید).

در ادامه باز هم به گروه‌ها سر بزنید و ببینید چطور تصمیم می‌گیرند که هر کدام از عددهای روی تاس را در کدام جای خالی قرار دهند و کدام علامت را بین آن‌ها قرار دهند.

دوز اعداد صحیح

با پرسیدن سوالی مانند سوال زیر، توجه آن‌ها را به فرصت‌هایی که برای انتخاب دارند، جلب کنید:

در هر دور بازی وقتی تاس می‌اندازی، می‌توانی انتخاب کنی که دو عدد را به چه ترتیبی قرار دهی و می‌توانی انتخاب کنی که بین آن‌ها علامت جمع بگذاری یا تفریق. یعنی حالت‌های مختلفی داری و می‌خواهی بهترین انتخاب را انجام دهی. برای این که همه‌ی حالت‌ها را بررسی کنی، چند تا جمع یا تفریق باید انجام بدهی؟

دانش‌آموزان ممکن است پاسخ‌های مختلفی برای این پرسش ارائه کنند، حتی ممکن است پاسخ اولیه‌ای بدهند، اما در ادامه و وقتی هنگام بازی، بیشتر به انتخاب‌هایشان فکر می‌کنند، پاسخ‌هایشان تغییر کند.

نمونه‌هایی از پاسخ‌های دانش‌آموزان

چهار حالت

عددها را می‌گذارم و یک جمع و یک منها انجام می‌دهم. بعد عددها را جابه‌جا می‌کنم و دوباره یک جمع و یک منها انجام می‌دهم، یعنی چهار تا عبارت را محاسبه می‌کنم تا بهترین آن‌ها را برای خودم انتخاب کنم.

سه حالت

علامت جمع را می‌گذارم. در این حالت فرقی ندارد که کدام عدد کدام طرف باشد، چون در جمع فرقی نمی‌کند که عدد بزرگ تر اول باشد یا عدد کوچکتر. من فکر نمی‌کردم درباره‌ی عددهای منفی هم این کار را بتوان کرد ولی انجام دادم و دیدم که فرقی نمی‌کند.

حالا علامت تفریق را می‌گذارم. اینجا فرق می‌کند که کدام عدد کدام طرف باشد و برای همین هر دو حالت را امتحان می‌کنم.

دو حالت!

جمع ویژگی جابه‌جایی دارد. پس یک حالت این است که دو عدد را باهم جمع کنم و با جابه‌جا کردن عددها فرقی در حاصل ایجاد نمی‌شود.

تفریق ویژگی جابه‌جایی ندارد؛ ولی وقتی اولین عدد را منهای دومی می‌کنم و بعد جای عددها را جابه‌جا می‌کنم، حاصل قرینه می‌شود.

مثلاً ۳=۲-۵ و ۳-=۵-۲

من امتحان کردم، در همه‌ی عددهای من اینطوری شد.

دو حالت

a+b=b+a

a-b=a+(-b)=-(-a)+(-b)=-(-a+b)=-(b-a)

این یعنی:

یک بار دو عدد را جمع می‌کنم که فرقی ندارد با چه ترتیبی.

یک بار ترتیبی را برای تفریق می‌نویسم که برایم راحت‌تر است و بعد، خود عدد حاصل و قرینه‌ی آن را پیدا می‌کنم.

پس سه تا عدد دارم که باید ببینم کدام برایم بهتر است.

به دانش‌آموزان سر بزنید و دلایل آن‌ها را بشنوید، حواستان باشد که نیازی نیست که همه‌ی بچه‌ها مثل هم فکر کنند. در نوشته‌ای به نام گوناگون‌سازی- بازی‌های لایه‌دار درباره‌ی لایه‌های این فعالیت و مزیت این لایه‌دار بودن صحبت شده است.