اثبات‌های هندسی – امید ریاضی

کشف رابطه‌ی فیثاغورس

نگار وکیلی — Sat, 27 Dec 2025 06:46:08 +0000

روابط هندسی را در شکل پیدا کنید (از جمله یافتن مثلث‌های هم‌نهشت، زاویه‌های برابر، پاره‌خط‌های برابر، خط‌های متعامد و …)

اجازه‌ی ادامه‌دادن پاره‌خط‌ها یا اضافه‌کردن نقاط و پاره‌خط‌های جدید را نیز دارید.

پیشنهاد می‌شود قبل از اجرای این طرح یادگیری در کلاس، به ترتیب طرح‌های یادگیری «کشف روابط هندسی ۱»، «کشف روابط هندسی ۲» و «کشف روابط هندسی ۳» را در کلاس پیش ببرید.

شرح فعالیت

گام اول؛ کاوش

تصویر مربوط به این فعالیت را به دانش‌آموزان بدهید، و ابتدا از آن‌ها بخواهید به‌صورت فردی روابط هندسی، از جمله یافتن مثلث‌های هم‌نهشت، زاویه‌های برابر، پاره‌خط‌های برابر، خط‌های متعامد، موازی و … را پیدا کنند. همچنین به آن‌ها بگویید اجازه‌ی ادامه‌دادن پاره‌خط‌ها یا اضافه‌کردن نقاط و پاره‌خط‌های جدید را نیز دارند.

گام دوم؛ گفت‌و‌گوی گروهی

دانش‌آموزان را در گروه‌های سه نفره تقسیم کنید و از آن‌ها بخواهید روابطی را که پیدا کرده‌اند، با یکدیگر مطرح کنند.

گام سوم؛ بررسی استدلال‌ها و دیدن روابط در جئوجبرا

حالا از گروه‌ها بخواهید به‌ترتیب یکی از روابط جالبشان را روی تخته کلاس یادداشت کنند و استدلال‌هایشان درباره‌ی روابطی را که پیدا کرده‌اند بیان کنند. با کمک دانش‌آموزان کلاس، درستی یا نادرستی استدلال‌ها را مشخص کنید و در صورت نیاز استدلال‌ها را تکمیل کنید. سپس در جئوجبرا درستی روابط‌ را نشان دهید.

گام چهارم؛

با همکاری دانش‌آموزان نشان دهید که با رسم پاره‌خط‌های FG ،EF، HE و GH ، مربع HEFG ایجاد می‌شود. سپس برای طول اضلاع مثلث AHG، سه متغیر b ،a و c را تعریف کنید. از دانش‌آموزان بخواهید تساوی‌های مربوط به مساحت را که می‌توان از این شکل استخراج کرد، بیان کنند و آن‌ها را روی تخته یادداشت کنید.

[mathjax]

سپس از میان تساوی‌های به‌دست‌آمده، تساوی زیر را انتخاب کنید و از دانش‌آموزان بخواهید آن را بر حسب متغیرها بازنویسی کنند، عبارت‌ها را تا حد امکان ساده نمایند و نتیجه‌ی نهایی را ارائه دهند.

نمونه‌هایی از پاسخ دانش‌آموزان:

با رسم پاره‌خط‌های DF و CG، دو مثلث DCF و CGB بر اساس حالت تساوی دو ضلع و زاویه‌ی بین، هم‌نهشت هستند.

از همنهشتی دو مثلث DCF و CGB نتیجه می‌گیریم که زاویه‌های FCG و FDC برابر هستند.

از طرفی، چون مجموع زوایای FDC و LFC برابر ۹۰ درجه است، می‌توانیم نتیجه بگیریم که مجموع زاویه‌های FCG و LFC نیز برابر ۹۰ درجه است و در نتیجه زاویه‌ی FLC برابر ۹۰ درجه است. به این ترتیب، خطوط CG و DF بر هم عمود هستند. به صورت مشابه و با رسم سایر پاره‌خط‌ها، توانستم شکل زیر را ایجاد کنم.

من با تکرار الگوی مسئله، شکل‌های زیر را رسم کرده‌ام.

کشف روابط هندسی ۳

نگار وکیلی — Sat, 27 Dec 2025 06:34:52 +0000

اجازه‌ی ادامه‌دادن پاره‌خط‌ها یا اضافه‌کردن نقاط و پاره‌خط‌های جدید را نیز دارید.

پیشنهاد می‌شود قبل از اجرای این طرح یادگیری در کلاس، به ترتیب طرح‌های یادگیری «کشف روابط هندسی ۱» و سپس «کشف روابط هندسی ۲» را در کلاس پیش ببرید.

شرح فعالیت

گام اول؛ کاوش

گام دوم؛ گفت‌و‌گوی گروهی

گام سوم؛ بررسی استدلال‌ها و دیدن روابط در جئوجبرا

گام چهارم؛

در انتها از گروه‌ها بخواهید تلاش کنند روابطی پیدا کنند که تاکنون یافت نشده است.

نمونه‌هایی از پاسخ دانش‌آموزان:

مثلث‌های ABG و ADC بر اساس حالت تساوی دو ضلع و زاویه‌ی بین، هم‌نهشت هستند.

از هم‌نهشتی مثلث‌های ABG و ADC نتیجه می‌گیریم که زاویه‌های ADI و ABH برابر هستند. چون زوایای متقابل به راس AID و HIB برابر هستند، می‌توانیم نتیجه بگیریم که زوایای DAB و IHB برابر هستند. بنابراین خطوط BG و DC بر هم عمود هستند.

کشف روابط هندسی ۲

نگار وکیلی — Sat, 27 Dec 2025 06:28:53 +0000

اجازه‌ی ادامه‌دادن پاره‌خط‌ها یا اضافه‌کردن نقاط و پاره‌خط‌های جدید را نیز دارید.

پیشنهاد می‌شود قبل از اجرای این طرح یادگیری در کلاس، طرح یادگیری «کشف روابط هندسی ۱» را در کلاس پیش ببرید.

شرح فعالیت

گام اول؛ کاوش

گام دوم؛ گفت‌و‌گوی گروهی

گام سوم؛ بررسی استدلال‌ها و دیدن روابط در جئوجبرا

گام چهارم؛

در انتها از گروه‌ها بخواهید تلاش کنند روابطی پیدا کنند که تاکنون یافت نشده است.

نمونه‌هایی از پاسخ دانش‌آموزان:

مثلث‌های BGC و CGE بر اساس حالت تساوی دو ضلع و زاویه‌ی بین، هم‌نهشت‌ هستند.

مثلث‌های BFC و BFD بر اساس حالت تساوی دو ضلع و زاویه‌ی بین، هم‌نهشت هستند.

از هم‌نهشتی مثلث‌های BFC و BFD و همچنین BGC و CGE نتیجه می‌شود که پاره‌خط‌های DB و CE برابر هستند.

پاره‌خط‌های AC و AD به دلیل هم‌نهشتی مثلث‌های AFC و AFD برابر هستند. به طور مشابه، پاره‌خط‌های BC و BD نیز برابر هستند. از آن‌جا که AB ضلع مشترک مثلث‌های ABC و ABD است، این دو مثلث بر اساس حالت تساوی سه ضلع، هم‌نهشت هستند.

کشف روابط هندسی ۱

نگار وکیلی — Fri, 26 Dec 2025 07:50:39 +0000

اجازه‌ی ادامه‌دادن پاره‌خط‌ها یا اضافه‌کردن نقاط و پاره‌خط‌های جدید را نیز دارید.

شرح فعالیت

گام اول؛ کاوش

تصویر مربوط به این فعالیت را به دانش‌آموزان نشان بدهید و از آن‌ها بخواهید ابتدا به‌صورت فردی روابط هندسی، از جمله یافتن مثلث‌های هم‌نهشت، زاویه‌های برابر، پاره‌خط‌های برابر، خط‌های متعامد، موازی و … را پیدا کنند. همچنین به آن‌ها بگویید اجازه‌ی ادامه‌دادن پاره‌خط‌ها یا اضافه‌کردن نقاط و پاره‌خط‌های جدید را نیز دارند.

گام دوم؛ گفت‌و‌گوی گروهی

گام سوم؛ بررسی استدلال‌ها و دیدن روابط در جئوجبرا

گام چهارم؛

در انتها از گروه‌ها بخواهید تلاش کنند روابطی پیدا کنند که تاکنون یافت نشده است.

نمونه‌هایی از پاسخ دانش‌آموزان:

مثلث‌های CFE و BED و AFD بر اساس حالت تساوی دو ضلع و زاویه‌ی بین، هم‌نهشت هستند.

از هم‌نهشتی سه مثلث نتیجه می‌گیریم، اضلاع FE و ED و DF با هم برابر هستند.

اگر اضلاع مثلث DEF را ادامه دهیم تا اضلاع مثلث ABC را در نقاط X و Y و Z قطع کند، در این صورت، مثلث‌های GCF و EBH و ADI بر اساس حالت تساوی دو ضلع و زاویه بین، هم‌نهشت هستند.
معلم: چگونه مثلث‌های FCG و EBH به حالت تساوی دو ضلع و زاویه بین، هم‌نهشت هستند؟

دانش‌آموز: ضلع‌های BE=CF و GC=BH و زاویه‌های EBH=FCG.

معلم: چگونه برابری ضلع‌های CG و BH را نتیجه گرفتید؟

دانش‌آموز: درسته، هنوز ثابت نکرده‌ایم. فکر می‌کنم بهتر است به حالت‌های دیگر هم‌نشهتی فکر کنیم.

وسط ضلع‌های مثلث و «دیگر هیچ»

زهره پندی — Thu, 22 Feb 2024 04:30:00 +0000

«در مثلث متساوی‌الاضلاع ABC، وسط اضلاع را D، E و F نامیده‌‌ و به هم وصل کرده‌ایم.»

به این موقعیت فکر کن، آن را توصیف کن و مسئله‌هایی درباره‌ی آن طرح کن که قابل حل باشند و حل کردن آن‌ها برای خودت جالب باشد!

مثلث متساوی‌الاضلاع

شرح فعالیت

موقعیت زیر را در کلاس طرح کنید.

«در مثلث متساوی‌الاضلاع ABC، وسط اضلاع را D، E و F نامیده‌ایم.»

از دانش‌آموزان بخواهید درباره‌ی آن فکر کنند و هریک به تنهایی، ببینند که این موقعیت چه اطلاعاتی در اختیارشان قرار می‌دهد و سپس درباره‌ی ارتباط میان ویژگی‌های مثلث‌ها مسئله‌ای طرح کنند که هم قابل حل باشد و هم حل کردن آن برایشان جالب باشد.

فرصت کافی در اختیار دانش‌آموزان قرار دهید تا هریک به صورت فردی روی طرح مسئله کار کنند و سپس از آن‌ها بخواهید در گروه‌های کوچک (سه یا چهار نفره) قرار بگیرند و ایده‌های یکدیگر را بررسی کنند، یعنی مسئله‌ها را از این نظر که قابل حل هستند یا نه، ارزیابی نمایند و مسئله‌های قابل حل را حل کنند.

وقتی دانش‌آموزان مشغول کار در گروه هستند، به آن‌ها سر بزنید و با پرسیدن پرسش‌های پیش‌برنده، به آن‌ها کمک کنید که ایده‌هایشان را در قالب مسئله و راه‌حل صورت‌بندی کنند یعنی در یک موقعیت معنادار فرض و حکم مسئله را مرتب نمایند. مثلاً از آن‌ها بپرسید:

شما درباره‌ی ارتباط میان مساحت مثلث ABC و مثلث DEF نوشته‌ای. می‌توانی بگویی که این را در پاسخ به چه سوالی نوشته‌ای؟ و آیا می‌توانی بگویی که چه اطلاعاتی را داشته‌ای که توانسته‌ای این ارتباط را پیدا کنی؟
دوستت این مسئله را طرح کرده است. آیا صورت مسئله برایت واضح است؟ آیا معلوم است که سوال او چیست؟ آیا اطلاعاتی که او نوشته برای پاسخ دادن به سوال کافی است؟

در ادامه از گروه‌ها بخواهید که هر کدام یکی از مسئله‌هایشان را در کلاس بیان کنند و مسئله‌های طرح شده‌ی گروه‌های دیگر را بررسی نمایند.

سپس از گروه‌ها بخواهید همه‌ی مسئله‌هایشان را روی تابلویی در کلاس نصب کنند تا همه بتوانند همه‌ی مسئله‌ها را ببینند.

در پایان از دانش‌آموزان بخواهید، هر کدام یک مسئله‌ را که به نظرش جالب است (یکی از مسئله‌های گروه خودش یا گروه‌های دیگر یا یک مسئله‌ی جدید) بنویسد و آن را حل کند.

پاسخ‌های برخی از دانش‌آموزان

چه تبدیل یا تبدیل‌هایی مثلث ABC را روی مثلث DEF تصویر می‌کند؟

در یک مثلث متساوی‌الاضلاع، نقاطی روی هر ضلع گذاشته‌ایم به طوری که نسبت AD:DB و BE:EC و CF:FA برابر x است.
x چه مقدارهایی باید داشته باشد تا زاویه‌ی ADF:

الف) زاویه تند باشد؟

ب) زاویه‌ی راست باشد؟

ج) زاویه‌ی باز باشد؟

یک لاک‌پشت می‌خواهد روی ضلع‌های هر دو مثلث ABC و DEF راه برود. او می‌خواهد از نقطه‌ی A شروع کند و دوباره به همان نقطه برگردد و از روی هر ضلع فقط یکبار بگذرد. آیا این اتفاق ممکن است؟

اگر بله: چند راه مختلف برای این لاک‌پشت وجود دارد؟

اگر نه: چرا؟ ثابت کن!

در مثلث متساوی‌الاضلاع ABC با وصل کردن وسط ضلع‌ها، مثلث DEF ساخته شده است.
الف) مثلث وسط را رنگ می‌کنیم. نسبت مساحت سفید به مثلث ABC چقدر است؟
ب) در سه مثلث ADE، ‌BDF و CFE وسط ضلع‌ها را به هم وصل می‌کنیم و در هریک، مثلث وسطی را رنگ می‌کنیم. نسبت مساحت سفید به مثلث ABC چقدر است؟
ج) این کار را بارها ادامه می‌دهیم، نسبت مساحت سفید به مثلث ABC چطور پیش می‌رود؟

مثلث DEF داده شده است. مثلث ABC را طوری رسم کنید که D و E و F وسط ضلع‌های این مثلث باشند.
الف) حالت ساده این است که DEF متساوی الاضلاع باشد.
ب) حالت سخت این است که مثلث DEF مثلث نامشخص باشد.

وسط ضلع‌های مثلث‌ و «چه می‌شد اگر؟»

زهره پندی — Wed, 21 Feb 2024 04:30:00 +0000

«در مثلث متساوی‌الاضلاع ABC، وسط اضلاع را D، E و F نامیده‌ و به هم وصل کرده‌ایم.

ثابت کن که مساحت مثلث ABC چهار برابر مساحت مثلث DEF است.»

سپس با تغییر مسئله‌ی بالا، مسئله‌ی جدیدی طرح کن!

مسئله‌ی خود را اینطور شروع کن:

«چه می‌شد اگر …»

شرح فعالیت

مسئله‌ی زیر را در کلاس طرح کنید و از دانش‌آموزان بخواهید آن را حل کنند.

«در مثلث متساوی‌الاضلاع ABC، وسط اضلاع را D، E و F نامیده‌ایم. ثابت کنید که مساحت مثلث ABC چهار برابر مساحت مثلث DEF است.»

دقت کنید که این مسئله برای زمانی مناسب است که حل آن چالش برانگیز نباشد و دانش‌آموزان بتوانند در مدت کوتاهی آن را حل کنند.

در ادامه از آن‌ها بخواهید با «چه می‌شد اگر …» آغاز کنند و مسئله را به مسئله‌ی جدیدی تبدیل کنند که قابل حل باشد. در صورت نیاز، می‌توانید ابتدا یک مثال از مسئله‌ی تغییر داده شده، به کمک دانش‌آموزان، در کلاس مطرح کنید تا دانش‌آموزان متوجه کاری که از آن ها خواسته شده است، بشوند و ایده بگیرند. در قسمت «پاسخ‌های بعضی از دانش‌آموزان» می‌توانید بعضی از مسئله‌های طرح شده را بیابید.

از دانش‌آموزان بخواهید هریک به صورت فردی روی تغییر مسئله کار کنند. سپس از آن‌ها بخواهید در گروه‌های کوچک (سه یا چهار نفره) قرار بگیرند و ایده‌های یکدیگر را بررسی کنند، یعنی مسئله‌ها را از این نظر که قابل حل هستند یا نه، ارزیابی نمایند و مسئله‌های قابل حل را حل کنند.

وقتی دانش‌آموزان مشغول گفت‌وگو درباره‌ی ایده‌ها هستند، به گروه‌ها سر بزنید و ببینید که چطور به قابل حل بودن مسئله‌ها فکر می‌کنند. از آن‌ها بپرسید:

چطور فهمیدی که می‌توان این مسئله را حل کرد؟
یک شکل برای این مسئله‌ی جدید بکش. آیا می‌توانی از روی شکل، پاسخ آن را حدس بزنی؟
می‌بینم که با توجه به شکل، پاسخ را پیدا کرده‌ای! آیا مطمئنی که با تغییر شکل، این پاسخ همیشه درست است؟ برای آن‌که مطمئن شوی که این پاسخ در حالت کلی درست است، نیاز به اثبات داری! می‌توانی با این حدس شروع کنی که مثلث‌ها با هم متشابه هستند ولی لازم است ثابت کنی که باهم متشابه هستند.

در پایان از دانش‌آموزان بخواهید مسئله‌ها و راه‌حل‌های گروهشان را بنویسند و دور تا دور کلاس نصب کنند، طوری که همه‌ی دانش‌آموزان بتوانند به مسئله ها سر بزنند و تنوع مسئله‌هایی را که دوستانشان طرح کرده‌اند و راه حل‌های آن‌ها را ببینند.

پاسخ‌های برخی از دانش‌آموزان

چه می‌شد اگر مثلث، متساوی‌الاضلاع نبود (متساوی‌الساقین بود یا قائم‌الزاویه یا نامشخص)؟ در این صورت، نسبت مساحت مثلث بزرگ به کوچک، چه عددی بود؟

چه می‌شد اگر نقطه‌های D و E وسط نبودند و ضلع‌ها را به نسبت ۱ به ۳ تقسیم می‌کردند (AE و AD نسبت ۱ داشتند). در این صورت نسبت مساحت‌ها چطور می‌شد؟

اگر می‌دانستیم که نسبت مساحت مثلث ABC به مساحت مثلث DEF چه عددی است، چطور می‌توانستیم جای نقطه‌ها روی ضلع‌ها را پیدا کنیم؟

به جز مثلث‌های ABC و DEF مثلث‌های دیگری هم در شکل دیده می‌شود. چه می‌شد اگر دو تا مثلث دیگر را در نظر می‌گرفتیم و نسبت مساحت‌های آن‌ها را پیدا می‌کردیم؟

چه می‌شد اگر اولین شکل مثلث نبود. مثلاً اگر یک مربع می‌کشیدیم و وسط‌های ضلع‌های آن را به هم وصل می‌کردیم، چه رابطه‌ای بین مساحت چهارضلعی بزرگ و کوچک بود؟ اگر به جای مربع چهارضلعی دیگری می‌کشیدیم چه می‌شد؟ اگر پنج‌ضلعی منتظم می‌کشیدیم یا هر پنج‌ضلعی دیگری چطور؟