عملیات روی عبارت‌های جبری – امید ریاضی

چهارضلعی‌ها روی جدول ضرب

زهره پندی — Sat, 03 Feb 2024 04:30:00 +0000

یک لوزی دلخواه با قطرهای افقی و عمودی، روی جدول ضرب رسم کرده‌ایم، طوری که هر رأس آن روی یکی از عددهای جدول باشد.

در این لوزی حاصل جمع عددهای روی رأس‌های دو قطر باهم برابر است؛ یعنی ۴۰+۱۰=۳۵+۱۵.

شما هم لوزی‌های دیگری رسم کنید.

آیا همیشه حاصل جمع عددهای روی رأس‌‌های دو قطر باهم برابرند؟ چرا؟

شرح فعالیت

جدول ضرب را در اختیار دانش‌آموزان قرار دهید و از آن‌ها بخواهید یک لوزی دلخواه با قطرهای افقی و عمودی روی آن رسم کنند و عددهای روی رأس‌های هریک از قطرهای لوزی را با هم جمع کنند. از آن‌ها بپرسید: «آیا دو عدد با هم مساوی شد؟» (اگر درست محاسبه کرده باشند، باید دو عدد مساوی شده باشند).

برای این فعالیت می‌توانید از ابزار کاغذی «جدول ضرب» یا ابزار مجازی «جدول ضرب» استفاده کنید و روی آن‌ها صورت مسئله را توضیح دهید یا به جای آن‌ها اولین فایل کاربرگ «چهارضلعی‌ها روی جدول ضرب» را در اختیار دانش‌آموزان قرار دهید.

در ادامه این ادعا را مطرح کنید:

«وقتی یک لوزی با قطرهای افقی و عمودی روی جدول ضرب رسم می‌کنیم، حاصل جمع عددهای روی رأس‌های دو قطر با هم برابر است!»

از دانش‌آموزان بخواهید در گروه‌های کوچک (دو تا چهار نفره) قرار بگیرند و ایده‌هایشان را باهم به اشتراک بگذارند.

برای آن‌ها توضیح دهید که برای رد این برابری در حالت کلی، کافی است که مثالی پیدا کنند که این برابری در آن برقرار نباشد؛ اما برای اثبات برابری باید در حالت کلی بنویسند که چطور این حاصل جمع‌ها مساوی می‌شود.

هنگامی که دانش‌آموزان مشغول کار هستند، به آن‌ها سر بزنید و با پرسیدن سوال‌هایی مانند سوال‌های زیر با آن‌ها کمک کنید که ایده‌هایشان را شفاف کنند و برای ایده‌ها دلیل بیاورند، از هم سوال بپرسند و ایده‌های یکدیگر را ارزیابی کنند:

آیا برایت واضح است که دوستت چه ایده‌ای دارد؟
آیا با ایده‌ی دوستت موافقی؟
آیا این ایده برای لوزی‌های دیگر هم درست است؟ چرا؟
می‌توانی عدد وسط لوزی را a در نظر بگیری و مجموع عددهای روی رأس‌های هر یک از قطرهای لوزی را برحسب آن بنویسی؟

زمانی که گروه‌ها به اندازه‌ی کافی فرصت برای فکر کردن و ایده‌پردازی و جمع‌بندی داشتند، از آن‌ها بخواهید ایده‌هایشان را در کلاس مطرح کنند و ایده‌های یکدیگر را مورد ارزیابی قرار دهند.

برای آن‌که ایده‌های جدید در کلاس طرح شود، با یک گروه آغاز کنید و سپس از گروه‌های دیگر بپرسید که آیا راه‌حل مشابه یا متفاوتی برای مطرح کردن، دارند؟

در این مرحله می‌توانید از ابزار مجازی «جدول ضرب» برای نشان دادن مثال‌های گروه‌های مختلف در کلاس استفاده کنید.

در پایان از دانش‌آموزان بخواهید هر یک به تنهایی، دلیلی را که به نظرش قابل دفاع است، به هر ترتیبی که می‌خواهد، بنویسد.

پاسخ‌های برخی از دانش‌آموزان

من عدد وسط لوزی را a درنظر گرفتم.

عددهای روی رأس‌های سمت چپ و راست، به یک اندازه از a کمتر و بیشتر هستند؛ پس مجموعشان می‌شود ۲a.

عددهای روی رأس‌های بالا و پایین هم به یک اندازه از a کمتر و بیشتر هستند؛ پس مجموعشان می‌شود ۲a.

حس می‌کنم، خیلی مسئله ساده حل شده و نمی‌دانم چرا بعضی از راه حل‌های دوستانم، خیلی پیچیده است.

بازخورد معلم: ایده‌ات را خیلی خوب نوشته‌ای.

آیا مطمئنی که همیشه دو عدد روی رأس‌های سمت چپ و راست به یک اندازه کمتر و بیشتر از عدد وسط لوزی هستند؟ آیا می‌توانی برای آن دلیل بیاوری؟

دو عدد روی رأس‌های بالا و پایین چطور؟

در واقع شما قسمتی از مسیر حلت را فرض گرفته‌ای و برای همین راه حلت به نظر ساده می‌آید. با دلیل آوردن درباره‌ی این قسمت‌ها، راه حلت کامل می‌شود.

من یک لوزی در حالت کلی کشیدم و نوشتم که خانه‌ها چطور از ضرب دو عدد ساخته می‌شوند.

حاصل جمع عددهای روی رأس‌های هر قطر برابرست با:

b(a-x)+b(a+x)=2ab

a(b-y)+a(b+y)=2ab

یعنی حاصل جمع‌ها با هم برابرند.

فعالیت زیر تقریباً هم‌سطح فعالیت اصلی است و می‌توانید در کلاس از دانش‌آموزان بخواهید که کار روی یکی از این دو فعالیت را انتخاب کنند و در دو دسته، در گروه‌های کوچک کار کنند و در پایان ایده‌هایشان را برای هم بازگو نمایند.

در این حالت، هنگام بررسی کارها در کلاس، ابتدا یک فعالیت و سپس فعالیت دیگر را مورد بررسی قرار دهید و بدین ترتیب هنگام کار کلاسی نیز فرصتی برای دوباره فکر کردن به ارتباط میان اعداد در جدول ضرب برای هر دو دسته از دانش‌آموزان، فراهم نمایید.

در جدول ضرب روبه‌رو یک مستطیل با طول و عرض افقی و عمودی، طوری رسم شده است که عددهای روی رأس‌های آن روی اعداد جدول قرار گرفته‌اند.

چه ارتباطی میان حاصل ضرب عددهای روی رأس‌های دو قطر مستطیل می‌بینید؟

آیا در حالت کلی، حاصل ضرب عددهای روی رأس‌های دو قطر باهم برابر است؟ چرا؟

این فعالیت در دومین فایل کاربرگ «چهارضلعی‌ها روی جدول ضرب» آمده است.

پاسخ‌های برخی از دانش‌آموزان

من مستطیل‌های زیادی کشیدم. در همه‌ی آن‌ها حاصل ضرب عددهای روی رأس‌های دو قطر با هم مساوی بود.

بازخورد معلم: چه خوب که مثال زدی و حدست را نوشته‌ای. اما این کافی نیست! چون ممکن است وقتی جدول را از راست و پایین ادامه می‌دهیم، به مستطیل‌هایی برسیم که اینطور نباشند.

باید دلیلی پیدا کنی که نشان دهد در حالت کلی این برابری برقرار است. برای این منظور به کار یکی از دوستانت که در صفحه‌ی بعدی گذاشته‌ام، نگاه کن. آیا دلیلی که او نوشته است، برایت واضح است؟ چه سوال‌هایی درباره‌ی این راه‌حل داری؟

من یک مستطیل در حالت کلی کشیدم و نوشتم که خانه‌ها چطور از ضرب دو عدد ساخته می‌شوند.

حاصل ضرب عددهای روی رأس‌های هر قطر برابرست با:

(a×d)×(b×c)=(b×d)×(a×c)

یعنی حاصل ضرب‌ها با هم برابرند.

چهارضلعی‌ها روی جدول جمع

زهره پندی — Thu, 01 Feb 2024 04:30:00 +0000

یک مستطیل دلخواه با ضلع‌های افقی و عمودی، روی جدول جمع رسم کرده‌ایم، طوری که هر رأس آن روی یکی از عددهای جدول باشد.

در این مستطیل حاصل جمع عددهای روی رأس‌های دو قطر باهم برابر است؛ یعنی ۱۳+۹=۱۶+۶.

شما هم مستطیل‌های دیگری رسم کنید.

آیا همیشه حاصل جمع عددهای روی رأس‌‌های دو قطر باهم برابرند؟ چرا؟

شرح فعالیت

جدول جمع را در اختیار دانش‌آموزان قرار دهید و از آن‌ها بخواهید یک مستطیل دلخواه با ضلع‌های افقی و عمودی روی آن رسم کنند و عددهای روی رأس‌های هریک از قطرهای مستطیل را با هم جمع کنند. از آن‌ها بپرسید: «آیا دو عدد با هم مساوی شد؟» (اگر درست محاسبه کرده باشند، باید دو عدد مساوی شده باشند).

برای این فعالیت می‌توانید از ابزار کاغذی «جدول جمع» یا ابزار مجازی «جدول جمع» استفاده کنید و روی آن‌ها صورت مسئله را توضیح دهید یا به جای آن‌ها اولین فایل کاربرگ «چهارضلعی‌ها روی جدول جمع» را در اختیار دانش‌آموزان قرار دهید.

در ادامه این ادعا را مطرح کنید:

«وقتی مستطیلی با ضلع‌های افقی و عمودی روی جدول جمع رسم می‌کنیم، حاصل جمع عددهای روی رأس‌های دو قطر با هم برابر است!»

از دانش‌آموزان بخواهید در گروه‌های کوچک (دو تا چهار نفره) قرار بگیرند و درستی یا نادرستی این ادعا را در حالت کلی ثابت کنند.

برای آن‌ها توضیح دهید که حتی اگر بتوانند یک مثال در همین جدول جمع یا در ادامه‌ی آن، یعنی وقتی جدول را از راست و پایین ادامه می‌دهیم، پیدا کنند، کار تمام است و ثابت شده که این ادعا در حالت کلی درست نیست.

اما برای اثبات این که این ادعا درست است، باید نشان دهند که با جابه‌جا شدن و بزرگ و کوچک شدن مستطیل، باز هم این ادعا درست است.

وقتی گروه‌ها مشغول کار هستند به آن‌ها سر بزنید و با پرسیدن سوال‌های مناسب، به آن‌ها کمک کنید تا بتوانند ایده‌هایشان را شفاف‌تر بگویند و ایده‌های یکدیگر را ارزیابی کنند. مثلاً بپرسید:

منظورت این است که «هر دو عدد سمت چپ به یک اندازه از دو عدد سمت راست بیشترند»؟
آیا این ایده درباره‌ی مستطیل‌های دیگر هم درست است؟
آیا با دوستت موافقی؟
آیا می‌توانی همین را که گفتی، با استفاده از یک یا چند عبارت جبری بنویسی؟

اهمیت استدلال

لابلای حرف‌های بچه‌ها به دنبال استدلال بگردید.

دانش‌آموزان ممکن است برای ایده‌هایشان دلیل بیاورند، اما خودشان متوجه نباشند که این دلیل، یک دلیل کلی است یا می‌تواند منجر به استدلالی کلی درباره‌ی همه‌ی حالت‌ها شود. به آن‌ها کمک کنید که ایده‌هایشان را تعمیم دهند و در حالت کلی بیان کنند.

در این مرحله می‌توانید از ابزار مجازی «جدول جمع» برای نشان دادن مثال‌های گروه‌های مختلف در کلاس استفاده کنید.

پاسخ‌های برخی از دانش‌آموزان

من دیدم که دو تا عدد سمت راست به یک اندازه بیشتر از عددهای سمت چپ هستند. برای همین دو عدد سمت راست را همان عددهای سمت چپ به‌علاوه‌ی a در نظر گرفتم و همانطور که اینجا نوشته‌ام، جمع عددهای دو قطر با هم مساوی شد:

x+(y+a)=y+(x+a)

x+y+a=x+y+a

بازخورد معلم: ایده‌ات را خیلی خوب نوشته‌ای و به زبان ریاضی در آورده‌ای.

آیا مطمئنی که همیشه دو عدد سمت راست به یک اندازه بیشتر از عددهای سمت چپ هستند؟ آیا می‌توانی برای آن دلیل بیاوری؟

من یک مستطیل در حالت کلی کشیدم و نوشتم که خانه‌ها چطور از مجموع دو عدد ساخته می‌شوند.

حاصل جمع عددهای روی رأس‌های هر قطر برابرست با:

(b+d)+(a+c)=(b+c)+(a+d)

a+b+c+d =

حرکت L روی جدول چندستونی

زهره پندی — Mon, 22 Jan 2024 04:30:00 +0000

در یک جدول n ستونی، اعداد مانند تصویر روبه‌رو به ترتیب در n ستون چیده می‌شوند.

یک قالب Lشکل را مانند تصویر، روی این جدول حرکت می‌دهیم.

چه ارتباطی میان دو عدد دیده شده درون این قالب و n وجود دارد؟

آیا با داشتن دو تا از این متغیرها می‌توان سومی را پیدا کرد؟ چگونه؟

شرح فعالیت

گام اول؛ طرح مسئله

مسئله‌ی حرکت قالب Lشکل روی جدول اعداد nستونی را در کلاس طرح کنید و مطمئن شوید که همه‌ی بچه‌ها منظور از جدول nستونی و حرکت قالب روی جدول دریافته‌اند.

برای این منظور می‌توانید با استفاده از ابزار مجازی «جدول پویای اعداد» تعداد ستون‌ها را تغییر دهید و حرکت قالب روی جدول را با رنگی کردن خانه‌ها در جاهای مختلف جدول نشان دهید.

گام دوم؛ حل گروهی

از دانش‌آموزان بخواهید در گروه‌های کوچک (۳ تا ۴ نفره) قرار بگیرندو برای آن‌ها توضیح دهید که قسمتی از کار فردی و قسمتی گروهی است.

برای آن که دانش‌آموزان هنگام به اشتراک گذاشتن ایده‌ها، بتوانند راحت‌تر ایده‌های یکدیگر را دنبال کنند، از همه‌ی آن‌ها بخواهید، متغیر روی بازوی بلندتر L را a و متغیر روی بازوی کوتاه‌تر را b بنامند. مسئله یافتن رابطه‌ای میان a، b و n است.

پس از آن‌که دانش‌آموزان فرصت کافی برای فکر کردن به مسئله و گفت‌وگو باهم برای درک صورت مسئله داشتند، از آن‌ها بخواهید به صورت فردی، یکی از سه متغیر را انتخاب و برحسب دوتای دیگر بنویسند (دانش‌آموزان می‌توانند در گروه تصمیم بگیرند که هر کدام روی کدام متغیر کار کنند).

هنگامی که دانش‌آموزان مشغول بررسی رابطه‌ها هستند، به آن‌ها سر بزنید و با پرسیدن پرسش‌های پیش‌برنده، به آن‌ها کمک کنید که ایده‌هایشان را مطرح کنند و به کمک یکدیگر، هر ایده را ارزیابی نمایند. مثلاً بپرسید:

چطور فهمیدی که رابطه‌ای که نوشته‌ بودی، درست نبود؟
آیا می‌توانی یک مثال بزنی که نشان دهد این رابطه در آن مثال درست کار می‌کند؟ می‌توانی از جدول ۱۰ستونی استفاده کنی.
می‌توانی بگویی چطور همین رابطه در جدول ۷ستونی هم درست است؟

گام سوم؛ بررسی پاسخ‌ها

قسمت بعدی کار، این است که دانش‌آموزان نتیجه‌ی کارهایشان را با هم ببینند و هر سه رابطه را بررسی و مقایسه نمایند و سپس هرکدم به صورت فردی، درکشان از رابطه‌ی میان سه متغیر را بنویسند.

صفحه‌ی اول کاربرگ «حرکت L روی جدول چندستونی» همه‌ی مراحل این فعالیت را در بر دارد.

پاسخ‌های برخی از دانش‌آموزان

نوشتن b برحسب دوتای دیگر برای من خیلی راحت بود چون دوتا سطر پایین‌تر (2n) و یکی جلوتر از a بود. یعنی: b=a+2n+1

a را هم همینطور می‌نویسم. دو تا سطر بالاتر (2n) و یکی عقب‌تر از b یعنی: a=b-2n-1

اما نمی‌دانم چطور n‌را برحسب دوتای دیگر بنویسم.

بازخورد معلم: مسیر را خوب توضیح دادی. شاید خوب باشد که به رابطه‌ی اختلاف a و b ‌یعنی b-a و ارتباط آن با n فکر کنی!

من a=b+1+2n را نوشتم. بعد فکر کردم که می‌شود همین را مثل یک معادله دید و b را پیدا کرد و n را.

جوابم شبیه چواب دوستانم هست ولی نه دقیقاً مثل آن‌ها ولی فکر می‌کنم که کارم درست بوده است.

a=b+1+2n

-2n=b+1-a

n=(b+1-a)/(-2)

n=(a-b-1)/2

a=b+1+2n

-b=-a+1+2n

b=-(-a+1+2n)

b=a-1-2n

بازخورد معلم: ایده‌ات یعنی این که از روی یک رابطه، رابطه‌های دیگر را پیدا کرده‌ای، خیلی جالب بود.

به نظر می‌رسد از همان ابتدا که a را برحسب دو متغیر دیگر نوشته‌ای، به این که a کدام یک از اعداد روی قالب بود و b کدام، توجه نکرده‌ای.

همین طرح یادگیری را می‌توانید با قالب‌های دیگری پیش ببرید.

مثلاً به این قالب روی جدول nستونی نگاه کنید.

با طرح فعالیت با چنین قالبی، می‌توانید از دانش آموزان بپرسید: «چه ارتباطی میان متغیرهای a، b، c، d و n وجود دارد؟» و «با داشتن چند تا از متغیرها، می‌توان متغیرهای دیگر را پیدا کرد؟»

دقت کنید که این قالب با قالب L متفاوت است. در این قالب می‌توان با داشتن هر یک از دو متغیر c یا d دیگری را یافت (d=c+2 یا c=d-2) و با داشتن دو تا از سه متغیر b، a و n، می‌توان سومی را پیدا کرد (b=a+2n یا a=b-2n یا n=(b-a)/2).