رابطه – امید ریاضی

کاشی‌کاری کف حمام

نگار وکیلی — Mon, 22 Sep 2025 14:19:18 +0000

در مورد این تصویر:

چه می‌دانی؟
کنجکاوی چه چیزی را بدانی؟

شرح فعالیت

گام اول؛ مواجهه

به دانش‌آموزان بگویید: «این تصویرِ کفِ حمامِ خانه‌ی سارا است. ابتدا ما می‌خواهیم تا جایی که می‌توانیم چیزهای مختلفی درباره‌ی این تصویر، فهرست کنیم. لطفا چیزهایی که از این تصویر متوجه می‌شوید را بگویید تا من در ستون «می‌دانم» بنویسم. همچنین اگر در مورد این تصویر سوال یا ابهامی دارید مطرح کنید تا در قسمت «کنجکاوم بدانم» ثبت کنم.»

یک قسمت از تخته را برای نوشتن چیزهایی که دانش‌آموزان می‌دانند اختصاص دهید (ستون «می‌دانم») و یک قسمت دیگر را برای کنجکاوی‌ها و سوالات آن‌ها (ستون «کنجکاوم بدانم»). همه‌ی ایده‌های دانش‌آموزان را بدون ارزش‌گذاری بنویسید ولی در ادامه خوب است روی آن ایده‌هایی که منطبق با هدف هستند یا کج‌فهمی‌هایی را نشان می‌دهند، تمرکز کنید و در مورد آن‌ها گفت‌وگو کنید. انتظار می‌رود در این گفت‌وگو به ضلع‌های مجهول و خرد‌کردن شکل به شکل‌های آشنای مربع و مستطیل توسط دانش‌آموزان اشاره شود.

نمونه‌هایی از پاسخ‌های دانش‌آموزان در گام اول

دو ضلع ۶۰ سانتی‌متر هستند.
یک ضلع ۲۸ سانتی‌متر است.
یک ضلع ۴۲ سانتی‌متر است.

انگار قبلاً مربع بوده است و یک مستطیل کوچک به ابعاد ۱۸ و ۳۲ از آن کنده شده است.

می‌توانیم مساحت کل را با تقسیم آن به دو بخش محاسبه کنیم.

گام دوم؛ کاوش

سپس توضیح دهید که سارا قصد دارد کاشی‌های جدیدی نصب کند و کاشی‌های جدید، مربع‌هایی به ابعاد ۴ در ۴ سانتی‌متر هستند. سپس از آن‌ها بپرسید:

حالا چه چیزی می‌توانیم بگوییم؟

شنیدن و ثبت ایده‌ها را به همان صورت بالا ادامه دهید تا به پاسخ تعداد لازم کاشی‌های کوچک برسید.

نمونه‌هایی از پاسخ‌های دانش‌آموزان در گام دوم

کاشی‌ها از کف کوچک‌تر هستند.
تعداد زیادی کاشی نیاز خواهد بود!

مساحت هر کاشی ۱۶ سانتی‌متر مربع است.

هفت کاشی در امتداد ضلع ۲۸ سانتی‌متری جای می‌گیرد.
پانزده کاشی در امتداد قسمت بالا و کنار جای می‌گیرد.
کاشی‌ها در امتداد قسمت پایین، به طور کامل، جای نمی‌گیرند.

گام سوم؛ بازاندیشی

می‌توانید در آخر از دانش‌آموزان بپرسید:

جالب‌ترین قسمت این فعالیت برای شما چه بود؟
چه پرسش‌ها و کنجکاوی‌های تازه‌ای برایتان به وجود آمد؟

مساحت لوزی

نگار وکیلی — Tue, 16 Sep 2025 07:14:03 +0000

با این چهار مثلث قائم‌الزاویه‌ی یکسان، چند نوع چهارضلعی متفاوت می‌توانید درست کنید؟

رابطه مساحت کدام یک از چهارضلعی‌هایی را که درست کردید، بلدید و کنجکاوید که کدام را یاد بگیرید؟

شرح فعالیت

گام اول؛ مواجهه

دانش‌آموزان را گروه‌بندی کنید و به هر گروه، تعدادی مثلث قائم الزاویه‌ی یکسان (هم‌نهشت یعنی قابل انطباق برهم) بدهید. اما خوب است که مثلث‌های هر گروه با گروه دیگر، اندازه‌های متفاوتی داشته باشند (برای مثال به یک گروه، مثلث‌هایی با اضلاع زاویه قائمه‌ی ۲ و ۳ سانتی‌متری بدهید و به گروه دیگر ۴ و ۶ سانتی‌متری).

از گروه‌ها بخواهید که با مثلث‌هایشان، چندضلعی‌های مختلفی بسازند (هر بار می‌توانند از تعداد دلخواهی از مثلث‌ها استفاده کنند). می‌توانید با پرسیدن سوال‌های زیر دانش‌آموزان را به خلاقیت تشویق کنید:

چه شکل دیگری می‌توانید با این مثلث‌ها بسازید؟
آیا همه‌ی چهارضلعی‌های ممکن را ساخته‌اید؟
آیا می‌‌توانید یک مستطیل/لوزی/متوازی‌الاضلاع/ذوزنقه درست کنید؟

گام دوم؛ گفت‌وگوی جمعی

از هر گروه بخواهید شکل‌هایی که ساخته است را به کلاس نشان دهد و با پرسیدن سوال زیر، از آن‌ها دعوت کنید تا در مورد شباهت‌ها و تفاوت‌های بین چندضلعی‌ها با هم گفت‌وگو کنند:

شکل‌هایی که ساخته‌اید از چه نظر به هم شبیه هستند و از چه نظر متفاوت؟

گام سوم؛ کاوش

سپس از گروه‌ها بخواهید، چهارضلعی‌های ساخته شده که هم مساحت هستند را از سایر شکل‌ها جدا کنند و نگه دارند (سایر شکل‌ها را کنار بگذارند). در این مرحله، درک دانش‌آموزان از مفهوم مساحت سنجش می‌شود.

بعد از آن، از دانش‌آموزان بخواهید تا مطمئن شوند که آیا همه‌ی چهارضلعی‌هایی که با چهار مثلث ساخته می‌شوند را ساخته‌‌اند (مستطیل، لوزی، ذوزنقه، متوازی‌الاضلاع)؟

یک جدول در اختیار دانش‌آموزان بگذارید تا رابطه مساحت هر شکلی را که بلد هستند (مانند مستطیل، مثلث، متوازی‌الاضلاع) در آن یادداشت کنند و توضیح دهند که چطور مطمئن هستند که آن رابطه‌ها درست هستند.

همچنین، از دانش‌آموزان دعوت کنید تا با استفاده از چیزی که می‌دانند، رابطه‌ی مساحت شکل‌هایی که بلد نیستند (مثل لوزی یا ذوزنقه) را حدس بزنند. به آن‌ها یادآوری کنید که حتی اگر نتوانند رابطه را پیدا کنند، اشکالی ندارد و مهم تلاش کردن است (انتظار نمی‌رود که دانش‌آموزان این رابطه‌ها را کشف کنند).

در حین انجام کار به گروه‌ها سر بزنید و سوالات راهنمایی مانند سوالات زیر بپرسید:

فکر می‌کنید چگونه می‌توان مساحت لوزی را محاسبه کرد؟
آیا می‌توانید به رابطه‌ای فکر کنید که مساحت همه‌ی لوزی‌ها را بتوان با آن به دست آورد؟ (مثل رابطه‌ی مستطیل که «طول ضرب‌در عرض» است. با این رابطه، مساحت هر مستطیلی را می‌توان محاسبه کرد.)
آیا ارتباطی بین رابطه‌ی مساحت مستطیل/مثلث و رابطه‌ی مساحت لوزی می‌بینید؟
آیا روش دیگری برای به دست آوردن رابطه‌ی مساحت لوزی به ذهنتان می‌رسد؟

بعد از درنظر گرفتن کمی فرصت تفکر به دانش‌آموزان، رابطه مساحت لوزی را روی تخته بنویسید:

مساحت لوزی:

[latex]\displaystyle\frac{\text{قطر بزرگ} \times \text{قطر کوچک}}{۲}[/latex]

از بچه‌ها بخواهید:

بررسی کنید که آیا این رابطه منطقی است یا نه؟ با دلیل از پاسخ خود دفاع کنید.

گام چهارم؛ گفت‌وگوی جمعی

از گروه‌ها بخواهید تا استدلال‌های خود را ارائه دهند. از سوالات راهنما مانند زیر می‌توانید استفاده کنید:

چه کسی می‌تواند ایده‌ی این گروه را به زبان خودش دوباره بگوید؟
آیا با استدلال این گروه موافقید؟ چرا موافق یا مخالف هستید؟
آیا گروهی هست که جور دیگری فکر کرده باشد؟/ نظر متفاوتی داشته باشد؟
شباهت/تفاوت ایده شما با ایده این گروه چیست؟
آیا ارتباطی بین رابطه مساحت مستطیل، مثلث و لوزی می‌بینید؟

گام پنجم؛ بازاندیشی

در پایان می‌توانید از دانش‌آموزان بپرسید:

سخت‌ترین بخش این فعالیت برای شما چه بود؟ چگونه بر آن غلبه کردید؟
آیا همیشه می‌توانیم با استفاده از چیزی که از قبل می‌دانیم، فرمول مساحت یک شکل را پیدا کنیم؟

نمونه‌هایی از پاسخ‌های دانش‌آموزان

کشف رابطه‌ی مساحت لوزی از راه مقایسه‌ی آن با مستطیل

کشف رابطه‌ی مساحت لوزی از راه مقایسه‌ی آن با مثلث

اگر با ۴ مثلث قائم‌الزاویه یک لوزی بسازیم، برای به دست آوردن مساحت لوزی باید «مساحت مثلث را ۴ برابر» کنیم. مساحت مثلث می‌شود «قاعده ضرب‌در ارتفاع، تقسیم بر دو» پس اگر این رابطه را ۴ برابر کنیم، رابطه مساحت لوزی می‌شود «قاعده مثلث ضرب‌در ارتفاع مثلث، ضرب‌در ۲» و از آنجایی که قاعده مثلث، نصف قطر کوچک است و ارتفاع مثلث، نصف قطر بزرگ، پس می‌شود قطر بزرگ ضرب‌در قطر کوچک، تقسیم بر ۲.

استدلال در حوزه‌ی شکل‌های هندسی

نگار وکیلی — Thu, 06 Jun 2024 04:30:00 +0000

به نظر شما جمله‌ی نوشته شده در کارت روبه‌رو چه وقت‌هایی درست است؟ همیشه، گاهی یا هیچ‌وقت؟

دلیل خود را بیان کنید.

شرح فعالیت

گام اول؛ مواجهه

یکی از کارت‌های «استدلال در حوزه‌ی شکل‌های هندسی» را انتخاب کنید و با دانش‌آموزان‌تان به اشتراک بگذارید و از آن‌ها بخواهید تا نظرشان را در مورد جمله‌ی نوشته شده بر روی کارت بگویند. آیا به نظر آن‌ها آن جمله همیشه درست است؟ یا گاهی درست است؟ یا اینکه هیچ وقت درست نیست؟

اهمیت استدلال

از دانش‌آموزان بخواهید استدلال کنند.

از دانش‌آموزان بخواهید تا از ایده‌شان با ارائه‌ی دلیل دفاع کنند. استدلال‌هایشان می‌تواند از جنس بازنمایی به کمک ابزار، بیان مثال یا نامثال برای تایید یا رد یک ادعا شود یا اینکه از سطح بالاتر و تعمیم‌یافته‌تری برخوردار باشد. نمونه‌هایی از استدلال‌های دانش‌آموزان در انتهای همین طرح آورده شده‌است.

گام دوم؛ کاوش

کارت‌های «استدلال در حوزه‌ی شکل‌های هندسی» مربوط به پایه‌ و موضوع مورد نظر خود را در اختیار گروه‌های دو نفره از دانش‌آموزان قرار دهید و از آن‌ها بخواهید تا آن کارت‌ها را در سه گروه همیشه، گاهی یا هیچ‌وقت، دسته‌بندی کنند. به این صورت که جمله‌ی روی کارت را بخوانند و تصمیم بگیرند که آیا آن جمله همیشه درست است، گاهی درست است و یا اینکه هیچ‌وقت درست نیست.

دسته‌های کارت‌ها در سطوح مختلف طراحی شده‌اند. شما بر اساس نیاز کلاس خود می‌توانید یک یا چند دسته از کارت‌ها را از ابزار کاغذی «استدلال در حوزه‌ی شکل‌های هندسی» انتخاب کنید. دسته‌های کارت‌ها بر اساس افزایش پیچیدگی در زیر نمایش داده‌شده‌اند.

سری اول:

سری دوم:

سری سوم:

گام سوم؛ گفت‌وگوی جمعی

یکی یکی کارت‌ها را انتخاب کنید و جمله‌ی آن را بخوانید و از گروه‌ها بخواهید تا ایده‌های خود را در مورد آن‌ها با بقیه‌ی کلاس به اشتراک بگذارند. می‌توانید ابتدا کارت‌های سخت‌تر یا کارت‌هایی که در مورد آن اجماع نظر وجود ندارد را انتخاب کنید.

برای تسهیل گفت‌وگوی ریاضی‌وار در کلاس می توانید سوال‌های زیر را بپرسید:

آیا می‌توانید مثالی (یا نامثال‌هایی) را در این مورد بیان کنید؟
آیا می‌شود همه‌ی مثال‌های مربوط به آن را مورد بررسی قرار داد؟ آیا راه دیگری جز بررسی مثال، برای فهمیدن وجود دارد؟
از کجا می‌دانی که این جمله همیشه درست است؟ دلیل بیاور
برای کارت‌های «گاهی»، آیا می‌توانید توضیح دهید که چه وقت‌هایی درست هستند و چه وقت‌هایی درست نیستند؟
برای کارت‌های «گاهی»، آیا می‌توانید آن‌ها را طوری بنویسید که همیشه درست باشند یا درست نباشند؟

گام چهارم؛ بازاندیشی

در پایان از دانش‌آموزان بپرسید:

چه چیز تازه‌ای امروز یاد گرفتید؟

نمونه‌هایی از پاسخ‌های دانش‌آموزان

شکل‌هایی که سه ضلع دارند، مثلث نامیده می‌شوند.

همیشه درست است. من همه‌ی شکل‌هایی که سه ضلع دارند را کشیدم. همه مثلث بودند.

شکل‌هایی که چهار ضلع دارند، مربع نامیده می‌شوند.

گاهی درست است. وقتی که اندازه‌ی هر چهار ضلع با هم برابر و زاویه‌ها، ۹۰درجه باشند این جمله درست است. مستطیل، لوزی، متوازی‌الاضلاع، ذوزنقه هم چهار ضلع دارند اما مربع نیستند.

وقتی یک مربع را از وسط ببرید، یک مثلث درست خواهد شد.

این جمله گاهی درست است. وقتی که از روی قطر مربع را ببریم، دو تا مثلث درست خواهد شد. اما اگر افقی یا عمودی ببریم، دو تا مستطیل درست خواهد شد.

اگر دو مربع را در کنار هم قرار دهید می‌توانید یک مستطیل بسازید.

این جمله گاهی درست است. در مثال زیر، مستطیل ساخته‌ایم:

اما در مثال‌های زیر دو مربع را در کنار هم قرار داده‌ایم اما مستطیل درست نشد:

شکل‌های سه بعدی، بیشتر از چهار وجه دارند.

این جمله گاهی درست است. برای مثال استوانه یک شکل سه بعدی است و فقط دو وجه دارد که کمتر از چهار تا است. ولی مکعب بیشتر از چهار وجه دارد.

استدلال هندسی با کاغذ و تا

نگار وکیلی — Thu, 23 May 2024 06:22:31 +0000

کاغذ مربعی را چطوری تا می‌کنید تا یک مستطیل با مساحت دقیقا \(\frac ۱ ۲\) مساحت مربع اولیه بسازید؟

از کجا می‌دانید که مساحت مستطیلی که ساخته‌اید دقیقا برابر \(\frac ۱ ۲\) مساحت کاغذ اولیه است؟

شرح فعالیت

گام اول؛ مواجهه

برای دانش‌آموزان توضیح دهید که در این فعالیت قرار است به صورت نوبتی، نقش «متقاعد کننده» و «شَکّاک» را بازی کنند.

این فعالیت را با پرسش سوالات زیر از دانش‌آموزان آغاز کنید (سوالات را به ترتیب بپرسید):

اگر یک کاغذ مربعی را از روی یکی از قطرهایش تا کنیم،

چه شکلی به دست می‌آید؟ از کجا می‌دانی؟ (دلیلت را توضیح بده)
مثلثی که ساختی، چه نوع مثلثی است؟ از کجا می‌دانی؟ (دلیلت را توضیح بده)
چه ارتباطی بین مساحت این مثلث و مساحت مربع اولیه است؟ از کجا می‌دانی؟ (دلیلت را توضیح بده)

برای آشنایی دانش‌آموزان با نحوه‌ی انجام فعالیت، سعی کنید ابتدا یک بار فعالیت را با کل کلاس اجرا کنید و در این اجرا شما نقش «شَکّاک» را بگیرید و از دانش‌آموزان بخواهید تا در نقش «متقاعدکننده» استدلال‌های کافی و قانع کننده ارائه دهند.

گام دوم؛ کاوش

دانش‌آموزان را به گروه‌های دو نفره تقسیم کنید. به هر گروه تعدادی کاغذ مربعی بدهید. برای دانش‌آموزان توضیح دهید که این گام از فعالیت، شامل ۵ پله است که هر گروه می‌تواند از پله‌ی اول شروع کند و بعد به ترتیب به سراغ پله‌های بعدی برود.

در هر پله، یکی از دانش‌آموزان نقش «متقاعد کننده» و دانش‌آموز دیگر نقش «شَکّاک» را بازی خواهند کرد. دانش‌آموزی که نقش «متقاعد کننده» را دارد باید دست به کار شود و با کاغذی که در اختیار دارد، به سوال مطرح شده در آن پله پاسخ دهد. او برای پاسخ دادن به سوال، فقط اجازه دارد کاغذ را تا کند. سپس باید برای هم‌گروهی‌اش استدلال کند که چرا چیزی که ساخته پاسخ درست و مناسبی است.

در مقابل، نفر دوم باید در نقش «شَکّاک» عمل کند و با پرسیدن سوال‌های مختلف، مراقب باشد که دوستش دلایل خوب و قابل فهمی ارائه کند.

در هر پله، نقش دو نفر هم‌گروهی با هم عوض می‌شود و کار را ادامه می‌دهند. در حین انجام کار گروه‌ها، شما نیز در گروه‌ها بچرخید و در نقش شَکّاک از بچه‌ها بخواهید که شما را متقاعد کنند.

پله‌ی اول؛ کاغذ را جوری تا کن که به یک مربع تبدیل شود و مساحت آن دقیقا \(\frac ۱ ۴\) مساحت کاغذ اولیه باشد. دوستت را متقاعد کن که شکلی که ساختی حتما مربع است و مساحتش دقیقا \(\frac ۱ ۴\) مساحت کاغذ اولیه است.

پله‌ی دوم؛ کاغذ را جوری تا کن که به یک مثلث تبدیل شود و مساحت آن دقیقا \(\frac ۱ ۴\) مساحت کاغذ اولیه باشد. دوستت را متقاعد کن که مساحت شکلی که ساختی دقیقا \(\frac ۱ ۴\) مساحت کاغذ اولیه است.

پله‌ی سوم؛ با تا کردن کاغذ، مثلث دیگری بساز که مساحت آن دقیقا \(\frac ۱ ۴\) مساحت کاغذ اولیه باشد اما با مثلث پله‌ی سوم هم‌نهشت نباشد (برای جایگزینی کلمه‌ی همنهشت با کلمه‌ی مناسب‌تر برای پایه‌های پایین، قسمت نکته‌ها را ببینید). دوستت را متقاعد کن که مساحت شکلی که ساختی دقیقا \(\frac ۱ ۴\) مساحت کاغذ اولیه است.

پله‌ی چهارم؛ کاغذ را جوری تا کن و مربعی بساز که مساحتش دقیقا \(\frac ۱ ۲\) مساحت کاغذ اولیه باشد. سپس دوستت را متقاعد کن که شکلی که ساختی حتما مربع است و مساحتش دقیقا \(\frac ۱ ۲\) مساحت کاغذ اولیه است.

پله‌ی پنجم؛ حالا کاغذ را تا کن و مربعی بساز که باز هم مساحتش دقیقا \(\frac ۱ ۲\) مساحت کاغذ اولیه باشد. این مربع باید به شیوه‌ای غیر از شیوه‌ی پله‌ی چهارم ساخته شود. دوستت را متقاعد کن که شکلی که ساختی حتما مربع است و مساحتش دقیقا \(\frac ۱ ۲\) مساحت کاغذ اولیه است.

گام سوم؛ گفت‌وگو

از گروه‌ها دعوت کنید تا پاسخ‌ها و دلایل خود را با بقیه به اشتراک بگذارند. اطمینان حاصل کنید که نقش‌های «متقاعد کننده» و «شَکّاک»، نظرات خود را ابراز می‌کنند.

گام چهارم؛ بازاندیشی

در پایان از دانش‌آموزان بپرسید:

در این فعالیت چه چیزی برایتان جالب بود؟
چه سوال یا کنجکاوی برایتان ایجاد شد؟

یک نمونه گفت‌وگو بین معلم و دانش‌آموز

دانش‌آموز: این از مربع!

معلم: از کجا فهمیدی که این مربع است؟

دانش‌آموز: چون جوری تا کردم که ۴ قسمت شد.

معلم: چه‌طور این موضوع تو را متقاعد کرد که مربع ساخته‌ای؟

دانش‌آموز: قسمت‌ها با هم، هم‌اندازه هستند!

معلم: و این یعنی مربع هستند؟

دانش‌آموز: آن‌ها مربع هستند چون زاویه‌های‌شان ۹۰ درجه است و ضلع‌های‌شان هم با هم برابر است. (دانش‌آموز با انگشتش آن‌چه توضیح می‌دهد را روی کاغذ نشان می‌دهد.)

معلم: چه خوب. تو من را متقاعد کردی که شکل‌ات مربع است. حالا از کجا فهمیدی که مساحتش \(\frac ۱ ۴\) مساحت کاغذ است؟

دانش‌‌آموز: این جا چهار تا مربع داریم که هم‌اندازه هستند و همه با هم مربع اصلی را می‌سازند.

معلم: ممنونم، من متقاعد شدم!

چند تا کسر یک دوم می‌بینی؟

نگار وکیلی — Mon, 22 Apr 2024 04:30:00 +0000

چند تا کسر \(\frac ۱ ۲\) می‌توانید در این تصویر، پیدا کنید؟

دور واحدی که \(\frac ۱ ۲\) آن را در نظر گرفته‌اید، خط بکشید به طوری که هم کسر \(\frac ۱ ۲\) مشخص باشد و هم کل مربوط به آن.

شرح فعالیت

گام اول؛ مواجهه

ابتدا تصویر زیر را به دانش‌آموزان نشان دهید. این تصویر در پوستر پیوست با کیفیت بالا در دسترس است. از آن‌ها بپرسید:

کجاها کسر \(\frac ۱ ۲\) می‌بینید؟

این فرصت را در اختیار دانش‌آموزان قرار دهید تا چند دقیقه با نفر کناری‌اشان در مورد این‌که در کجاها کسر \(\frac ۱ ۲\) می‌بینند و چه‌طور مطمئن هستند که آن قسمتی که مدنظرشان است، \(\frac ۱ ۲\) است، گفت‌وگو کنند.

سپس از دانش‌آموزان بخواهید تا یک‌دوم‌هایی را که دیده‌اند، ایده‌ها و مسیر فکری‌شان را با کل کلاس به اشتراک بگذارند. با پرسیدن سوالات زیر از واحد یا کُلی که دانش‌آموزان در نظر گرفته‌اند، مطمئن شوید:

\(\frac ۱ ۲\) از چه چیزی؟
\(\frac ۱ ۲\) کجاست؟
چطور مطمئن هستی که این اندازه، \(\frac ۱ ۲\) است؟
از چه روشی استفاده کردی؟

هنگامی که دانش‌آموزان ایده‌هایشان را مطرح می‌کنند، شما سعی کنید یک‌دوم‌هایی که پیدا کرده‌اند را روی تصویر مشخص کنید، به طوری که هم «جز» و هم «کل» مشخص باشد؛ مانند شکل روبه‌رو.

لازم نیست که یک دوم‌هایی که بچه‌ها پیدا می‌کنند، تک قطعه یا حتی پیوسته باشد. در شکل روبه‌رو، قسمت خاکستری یا سفیدرنگ، \(\frac ۱ ۲\) از کل شکل است. (در این شکل، تساوی \(\frac ۱ ۲\) و \(\frac ۲ ۴\) نیز دیده می‌شود.)

گام دوم؛ کاوش

سپس تصویر دوم را در اختیار گروه‌های دو نفره قرار دهید. این تصویر در کاربرگ پیوست در دسترس است. از آن‌ها بخواهید از هر راهی که می‌توانند، یک‌دوم‌های مختلف و متفاوتی را در تصویر پیدا و رنگ کنند. دانش‌آموزان را تشویق کنید که به یک دوم‌ها و همچنین راه‌های پیدا کردن متفاوت و خلاقانه فکر کنند.

سپس برای واضح‌تر نشان دادن ایده‌شان، آن‌ها را روی کاغذ نقطه‌دار رسم کنند و آن‌چه را دیده‌اند، نمایش دهند.

برای این کار، لازم است شکل «کل» را رسم کنند و قسمت «\(\frac ۱ ۲\)» آن را هاشور بزنند؛ مانند تصویر روبرو.

در حین قدم زدن در کلاس و مشاهده‌ی فعالیت گروه‌ها، می‌توانید از دانش‌آموزان بپرسید که:

از کجا مطمئنی که این اندازه، \(\frac ۱ ۲\) است؟
یک‌دومی را پیدا کن که کلش، مستطیل نباشد.
کلی را پیدا کن که دوتا یک‌دوم‌هایش، شبیه هم نباشند.

گام سوم؛ گفت‌وگوی جمعی

بعد از انجام کار، از گروه‌ها بخواهید تا روش‌های متفاوتی که \(\frac ۱ ۲\) را در نظر گرفته‌اند، با کل کلاس به اشتراک بگذارند و توضیح دهند که چرا فکر می‌کنند که آن قسمت، نشان‌دهنده \(\frac ۱ ۲\) است و کل مربوط به آن کدام است. همچنین راهبردهای خود در پیدا کردن یک‌دوم‌ها را شرح دهند.

در مورد سوالات زیر گفت‌وگو کنید:

از کجا مطمئن هستید که دارید \(\frac ۱ ۲\) را نشان می‌دهید؟
از چه راهبردهایی برای ساخت یا آزمایش اینکه قسمت مورد نظر، \(\frac ۱ ۲\) است، استفاده کردید؟

راهبردهای دانش‌آموزان را برجسته کنید. دانش‌آموزان اغلب به صورت شهودی، مثلث‌ها یا مربع‌های «کل» را می‌شمارند و آن‌ها را با قسمت‌های سفید و خاکستری مقایسه می‌کنند. این شمارش و مقایسه، یک گام مهم به سوی کسر‌های معادل است و به رابطه‌ی بین «کل» و «\(\frac ۱ ۲\)» مربوط می‌شود. گاهی دانش‌آموزان در ذهن‌شان قطعه‌ها را جابجا می‌کنند تا قسمت‌های سفید و خاکستری یکسان به نظر برسند. این ایده نیز خوب است که برجسته شود.

گام چهارم؛ باز اندیشی

در پایان می‌توانید از دانش‌آموزان بپرسید که:

چطور می‌توانید \(\frac ۱ ۲\) چیزی را پیدا کنید؟
آیا روش شما همیشه و برای هر چیزی درست است؟

نمونه‌هایی از یک‌دوم‌هایی که بچه‌ها مشخص کرده‌اند

تصویر مربوط به فعالیت توسعه

هنگامی که بچه‌ها مشغول فعالیت هستند به آن‌ها سر بزنید و به این موضوعات دقت کنید و در صورت لزوم نکاتی را برای خودتان یادداشت کنید.

دانش‌آموزان به چه نوع‌هایی از \(\frac ۱ ۲\) توجه می‌کنند؟

برخی از دانش‌آموزان ممکن است بر «نصف‌هایی» تمرکز کنند که برای آن‌ها آشنا هستند. برای مثال، نصف‌هایی که «کل» آن، مستطیل شکل است و به دو قسمت متجانس مستطیل یا مثلث تقسیم شده‌اند. برای به چالش کشیدن دانش‌آموزان برای دیدن یک‌دوم‌هایی به روش‌های دیگر، از دانش‌آموزان بپرسید که آیا می‌توانند یک‌دومی را پیدا کنند که «کل» آن یک مستطیل نیست. یا یک‌دومی را پیدا کنند که دو تا نصف در آن، شکل‌های متفاوتی دارند. دانش‌آموزان را ترغیب کنید تا در مورد کل و \(\frac ۱ ۲\) به روش‌‌های منعطفی فکر کنند تا درک خود از \(\frac ۱ ۲\) را عمیق‌تر کنند.

آیا دانش‌آموزان با شمارش یا خرد کردن کل، ارتباط برقرار می‌کنند؟

یکی از راه‌های دیدن \(\frac ۱ ۲\) و توجیه نحوه‌ی تفکر، خرد کردن «کل» به قطعاتی است که هم‌اندازه هستند. می‌توان در هر ناحیه‌ای با تعداد قطعات هم‌اندازه‌ی خاکستری و سفید یکسان، \(\frac ۱ ۲\) را پیدا کرد. دانش‌آموزان ممکن است این کار را به صورت شهودی انجام دهند. آن‌ها را تشویق کنید تا بیان کنند که چرا دیدن قطعات یک ناحیه و شمارش آن قطعات، کمک می‌کند که \(\frac ۱ ۲\) را شناسایی کنند. همچنین، به دانش‌آموزانی که قطعات جدا را برای ساختن \(\frac ۱ ۲\) کنار هم قرار می‌دهند، توجه کنید. آن‌ها احتمالا به نحوی شمارش انجام می‌دهند. از آن‌ها بپرسید که از کجا می‌دانند که «\(\frac ۱ ۲\)» را پیدا کرده‌اند. به این صورت به آن‌ها کمک می‌کنید که توضیح خود را برای به اشتراک گذاشتن با کل کلاس، سازماندهی کنند. این‌ توضیحات ممکن است دری را برای دیدن هم‌ارزی باز کند؛ برای مثال ۳ قطعه از ۶ قطعه همان \(\frac ۱ ۲\) است به طوری که بعدا پلی برای عبارت « \(\frac ۱ ۲\)=\(\frac ۳ ۶\)» خواهد بود.

تقسیم شکل‌ها به قسمت‌های هم‌مساحت

نگار وکیلی — Wed, 17 Apr 2024 04:30:00 +0000

یک کاغذ مربعی شکل بردارید، آن را طوری تا کنید که به دو قسمت مساوی تقسیم شود. به چند روش مختلف می‌توانید این کار را انجام دهید؟

سپس سعی کنید کاغذتان را به چهار قسمت مساوی تقسیم کنید. این کار را به چند روش مختلف می‌توانید انجام دهید؟

شرح فعالیت

گام اول؛ تقسیم مربع به دو قسمت مساوی

کاغذی مربعی را به دانش‌آموزان بدهید و از آن‌ها بخواهید که بدون استفاده از قیچی و فقط با تا کردن آن را به دو قسمت مساوی تبدیل کنند. برای تهیه‌ی کاغذ مربعی می‌توانید از ابزار کاغذی «کاغذ مربعی» در پیوست همین فعالیت استفاده کنید. اگر فعالیت را در پایه‌های اول یا دوم انجام می‌دهید، پیش از شروع کار توجه دانش‌آموزان را به تا کردنِ با دقت جلب کنید. سپس از هر کودک بخواهید که نتیجه‌ی کارش را روی تخته بچسباند؛ با این توضیح که باید شکل‌های مشابه، کنار هم قرار بگیرند. یعنی اگر کار یک کودک شبیه به کار کودک دیگری بود، باید آن‌ها را در یک سوی تخته و در کنار هم بچسبانند. این کار به دانش‌آموزان کمک می‌کند که ایده و کار دیگران را به دقت ببینند و به شباهت‌ها و تفاوت‌های ایده‌ها فکر کنند.

گام دوم؛ تشخیص تساوی یا عدم تساوی در مربع‌های دو قسمتی

در این مرحله به هر دانش‌آموز یک برگه‌ی «مربع‌های دوقسمتی» بدهید. پیش از شروع کار از آن‌ها بخواهید که دور هر مربع را به دقت ببرند یا بنا به صلاح‌دید، خودتان از قبل مربع‌ها را ببرید و آماده به کلاس ببرید. از دانش‌آموزان بخواهید که به هر مربع نگاه کنند و بگویند که آیا به دو قسمت مساوی تقسیم شده یا نه. در این مرحله کودک می‌تواند کاغذ را تا کند یا می‌تواند قیچی را بردارد و شکل را ببرد اما به هر حال خوب است که کودک به یکی از این دو روش حدسش را بررسی کند.

گام سوم؛ تقسیم مربع به چهار قسمت مساوی

مشابه گام اول، کاغذ مربعی را به دانش‌آموزان بدهید و از آن‌ها بخواهید که بدون استفاده از قیچی و فقط با تا کردن آن را به چهار قسمت مساوی تقسیم کنند. برای تهیه‌ی کاغذ مربعی می‌توانید از ابزار کاغذی «کاغذ مربعی» استفاده کنید.

سپس باز هم از دانش‌آموزان بخواهید که نتیجه‌ی کارشان را روی تخته بچسبانند و موارد مشابه را کنار هم قرار دهند.

گام چهارم؛ تشخیص تساوی یا عدم تساوی در مربع‌های چهار قسمتی

این مرحله شبیه گامِ دوم است. به هر دانش‌آموز یک برگه‌ی «مربع‌های چهارقسمتی» را بدهید و از آن‌ها بخواهید که مربع‌ها را جدا کنند. با توجه به این که بچه‌ها کمی تجربه اندوخته‌اند، شاید بد نباشد که روی مرحله‌ی حدس زدن بیشتر تمرکز کنید؛

یعنی می‌توانید ابتدا از دانش‌آموزان بخواهید که در مورد هر یک از مربع‌ها حدس بزنند که به قسمت‌های مساوی تقسیم شده است یا نه و بعد فرصت دهید که با تا کردن یا بریدن، حدس‌هایشان را بررسی کنند. در زمانی که بچه‌ها مشغول حدس زدن هستند، به اقتضای شرایط شما می‌توانید به دانش‌آموزان سر بزنید و در مورد حدس‌هایشان گفتگو کنید. مثلاً می‌توانید بپرسید که او چه‌طور فکر کرده است اما به خاطر داشته باشید که هنوز نباید انتظار توضیح‌های دقیق از دانش‌آموزان داشت.

گام پنجم؛ تشخیص تساوی یا عدم تساوی شکل‌های چند قسمتی

پس از تجربه‌ی گام‌های قبل، احتمالاً دانش‌آموز می‌تواند درگیر شکل‌هایی غیر از مربع هم بشود. «برگه‌های شکل‌های چند قسمتی» برای این مرحله طراحی شده است. برگه را به دانش‌‌آموزان بدهید و از آن‌ها بخواهید که بررسی کنند و شکل‌هایی را مشخص کنند که به قسمت‌های مساوی تقسیم شده‌اند. در کلاس بگردید و در مورد فکر دانش‌آموزان گفتگو کنید. سپس پاسخ‌ها باید در کلاس بررسی شود. یکی یکی شکل‌ها را در جمعِ کلاس بررسی کنید. ابتدا بپرسید که چه کسانی معتقدند شکل به قسمت‌های مساوی تقسیم شده و چه کسانی برعکس فکر می‌کنند. از دانش‌آموزان بخواهید برای حرف‌شان توضیح ارائه کنند و بگویند که از کجا به این نتیجه رسیده‌اند. بعد از گفتگو درباره‌ی هر شکل، سراغ شکل‌های بعدی بروید و کار را تکرار کنید. در برخی شکل‌ها که با توجه به توضیح بچه‌ها، فکر می‌کنید اختلافی در نظرها باقی مانده است، از همه بخواهید که با بریدن یا تا کردن، پاسخ را بررسی کنند.

در حین فعالیت، می‌توانید موارد زیر را مورد توجه قرار دهید:

آیا کودکان، لزوم مساوی بودن قسمت‌ها را در متقارن بودن آن‌ها می‌دانند؟
ممکن است بچه‌ها در ابتدا تصور کنند که فقط شکل‌هایی که متقارن هستند می‌توانند مساحت مساوی داشته باشند. تجربه کردن و گفت‌وگو کردن راجع به این موضوع می‌تواند به بچه‌ها کمک کند که اشتباه بودن این ایده را درک کنند. مثلا در شکل زیر، دو قسمت نسبت به هم، تقارن بازتابی ندارند ولی با هم مساوی هستند. در صورتی که این دو قسمت با برش از هم جدا شوند، می‌توانند کاملا روی هم قرار بگیرند.

مساحت شکل‌های پاره پوره

فائزه شیخ‌علیان — Thu, 04 Apr 2024 04:30:00 +0000

با توجه به آن‌چه که از شکل‌ها باقی مانده است، می‌توانید مساحت هر شکل را قبل از پاره شدن پیدا کنید؟

شرح فعالیت

یکی از این شکل‌ها را به انتخاب خودتان در کلاس نمایش دهید. به بچه‌ها توضیح دهید که مساحت مربع‌های کوچک هر کدام یک سانتی‌مترمربع است. این شکل‌ها از تعدادی مربع تشکیل شده بودند اما بخشی از هر کدام آن‌ها پاره شده است. حالا می‌خواهیم معلوم کنیم که مساحت هر کدام از شکل‌ها قبل از پاره شدن چند سانتی‌مترمربع بوده است.

گام اول؛ فعالیت فردی

کاربرگی که در پیوست موجود است را به بچه‌ها بدهید تا هر کدام به صورت فردی روی آن کار کنند.

گام دوم؛ گفت‌وگوی جمعی

بعد از اینکه بچه‌ها فرصت کافی داشتند برای اینکه تنهایی روی کاربرگ کار کنند و به همه‌ی سوال‌های آن فکر کنند، از بچه‌ها بخواهید که برای یک گفت‌وگوی کلاسی دور هم جمع شوند. روی هر شکل تمرکز کنید و از بچه‌هایی که مایل هستند بخواهید که راه‌حلشان برای حل آن سوال را بگویند. اگر دانش‌آموزی روشی جز شمارش یکی‌یکی پیشنهاد داد، روش او را در کلاس پررنگ کنید و از این طریق به دانش‌آموزان کمک کنید که در پایان این فعالیت به روشی فراتر از شمارش یکی‌یکی فکر کنند.

نمونه‌ای از راه‌حل‌های دانش‌آموزان

این مستطیل از ۳ ردیف ۶‌ تاییِ مربع تشکیل شده است. بنابراین مساحت مستطیل قبل از پاره شدن، ۱۸ سانتی‌متر مربع است.

عرض این مستطیل با ۳ مربع پوشانده شده است، اما در مورد طول مستطیل نمی‌توانیم چیزی بگوییم، چون مستطیل طوری پاره شده است که اندازه‌ی طول آن مشخص نیست. فقط می‌توانیم بگوییم طول مستطیل ۶ یا بیشتر از ۶ است. مثلاً می‌تواند ۷ یا ۸ یا به طور کلی، هر عدد بزرگ‌تر از ۶ باشد.

در نتیجه نمی‌توانیم مساحت این شکل را قبل از پاره شدن، پیدا کنیم. چون طول مستطیل را نمی‌دانیم.

این شکل از سه ردیف مربع درست شده است. تعداد مربع‌های هر ردیف می‌تواند خیلی زیاد باشد. مثلاً می‌تواند بی‌نهایت تا(!) باشد. برای همین مساحت این شکل می‌تواند خیلی خیلی زیاد (بی‌نهایت) باشد.