تقریب و محاسبات تقریبی۱ در کتاب‌های درسی ابتدایی به وفور دیده می‌شود و معلم‌های دبستان از سال دوم تا ششم با حضور این مفاهیم در زنگ‌های ریاضی آشنا هستند. طبق معمول برخورد کتاب درسی با این موضوع نه یک دست است و نه فکر شده. کتاب درسی این موضوع را بدون استفاده در موقعیت‌های معنادار و بدون اتصال به حوزه‌های دیگر یادگیری ریاضی (مثل درک عددی و محاسبات ذهنی) ارائه کرده و تقریب و محاسبات تقریبی را به شکلی در برنامه‌درسی گنجانده که در دسته‌ی «ریاضیاتی که همه مطمئنند به هیچ دردی نمی‌خورد» قرار می‌گیرد. اگر شک دارید به تصویر زیر نگاهی کنید (کلاس سوم. صفحه‌ی ۳۷):
خوشبختانه سپیده چمن‌آرا چند سال پیش در مجله‌ی رشد آموزش ابتدایی دو مقاله با عنوان «اعداد تقریبی و تخمین» نوشته و در این دو نوشته به ظرافت‌هایی از موضوع اشاره کرده است. با توجه به نکته‌هایی که چمن‌آرا به خوبی در مقالهی اول و مقالهی دوم عنوان کرده، بنده در این نوشته فقط می‌خواهم از زاویه‌ای دیگر چیزی به حرف‌های او اضافه کنم. در این نوشته تلاش می‌کنم نشان دهم که وقتی تقریبی محاسبه می‌کنیم، ویژگی‌های عملگرها هم پررنگ می‌شود و در فرآیند یادگیری در کلاس درس باید حواس‌مان به این وجه حساب هم باشد.
ضرب با جمع فرق دارد…
در سال‌های اولیه‌ی دبستان کودک درگیر عمل‌های جمع و منهاست. بنابراین وقتی از محاسبات تقریبی صحبت می‌شود، منظور حساب کردنِ تقریبیِ جمع یا منهاست. از کلاس سوم به بعد، کودک با ضرب و تقسیم آشنا می‌شود و طبیعتاً انتظار می‌رود حسابِ تقریبی به حوزه‌ی ضرب و تقسیم هم گسترش پیدا کند. همین‌طور هم هست. ببینید:
تصویر بالا مربوط به کلاس دوم و تصویر پایین مربوط به کلاس چهارم است. همان‌طور که دیده می‌شود در هر دو مورد از کودک خواسته شده که به اصطلاح «با دقت کمتر از ۱۰۰»۲ اعداد را تقریب بزند و بعد حاصل را حساب کنند. گویی کتاب همان رویه‌ای را که برای حسابِ تقریبی در موقعیت‌های جمع و منها در نظر گرفته، به موقعیت ضربی هم تعمیم داده است.
حالا بنده فقط عددها را کمی تغییر می‌دهم تا ببینیم همین نسخه‌ای که کتاب پیچیده، کماکان کار می‌کند؟
کتاب در هر دو موقعیت پیشنهاد می‌کند با دقت کمتر از ۱۰۰ (یا کمتر از ۱۰ یا کمتر از ۱۰۰۰ یا …) سراغ هر دو عدد برو و آن‌ها را تقریب بزن و بعد حاصل را حساب کن. اگر همین کار را با بالایی انجام دهیم، حاصل ۱۲۳۴۰۰ می‌شود که انصافاً منطقی و قابل قبول۳ است؛ اما اگر در موقعیت ضربی، هر دو عملوند را با دقت کمتر از ۱۰۰ تقریب بزنیم و بعد نتیجه را حساب کنیم، حاصل صفر می‌شود!
بله! ضرب با جمع فرق دارد!
عجیب هم نیست. وقتی با ضربی مثلِ ۳×۱۲۳۴۵۶ روبه‌رو هستیم، کم و زیاد کردنِ عملوند اول و کم و زیاد کردنِ عملوند دوم مشابه هم عمل نمی‌کند. اگر عملوند دوم (منظورم ۳ است) را فقط یک واحد تغییر دهیم، حاصل ضرب به طور معناداری تغییر می‌کند اما اگر عملوند دوم (منظور ۱۲۳۴۵۶ است) را یک واحد، ده واحد، صد واحد و حتی هزار واحد تغییر دهیم، در حاصل ضرب خطای جدی‌ای دیده نمی‌شود.
ویژگی عملگرها و تفکر جبری
پیشنهاد می‌کنم خواندن را یک لحظه متوقف کنید و قدری روی بند بالا تأمل کنید. نکته‌ی مثالی که در بند بالا ارائه شد، ریشه در مقدار عدد‌هایی که پیشنهاد کردم نداشت؛ بلکه بنده مقدارهای عددی را فقط طوری انتخاب کردم که تفاوت تقریب در جمع و ضرب پررنگ شود. با این توصیف می‌خواهم حرف ساده‌ی نهایی را بزنم:
می‌دانیم که محاسبه‌ی تقریبی به ویژگی‌های بستر مسئله ربط دارد؛ همچنین می‌دانیم که محاسبه‌ی تقریبی به میزان بزرگی اعداد ربط دارد؛ اما چیزی که معمولاً از قلم می‌افتد این است که محاسبه‌ی تقریبی به عملگرها و ویژگی‌های این عملگرها هم ربط دارد.
به طور کلی وقتی در موردِ محاسبه‌ی تقریبی صحبت می‌کنیم، با یک عبارت ریاضی سر و کار داریم. در این عبارت ریاضی می‌خواهیم عملوندها را قدری تغییر دهیم که از سویی کارِ محاسبه تا حدودی سهل شود و از سوی دیگر حاصلِ حساب قابل قبول باشد. همین‌جا این سوال پیش می‌آید که هر کدام از عملوندها را چه‌قدر مجازم تغییر دهم که حاصلِ حسابم قابل قبول بماند؟ به محض این که بخواهیم به این سوال پاسخ دهیم، هم ویژگی‌های بستر مسئله پررنگ می‌شود و هم میزان بزرگی هر کدام از عملوندها. اما با این نوشته بنده تلاش دارم یادآوری کنم که پارامتر سومی هم برای پاسخ‌گویی به سوال وجود دارد. ما باید هشیار باشیم که چه عملیاتی قرار است بین اعداد انجام شود. شکلی از تغییر در عددها ممکن است در موقعیت‌های جمعی مطلوب باشد که در موقعیت‌های ضربی کار را خراب کند و بالعکس.
تفاوتی که در این متن بین ضرب و جمع بیان شد را فقط نباید محدود به همین دو عملگر در نظر بگیریم. گویی ما در جایگاه معلم باید برای کودکان فرصت تجربه مهیا کنیم که تغییر هر کدام از عملوندها در جمع، در تفریق، در ضرب و در تقسیم چه تاثیری بر حاصل عبارت دارد و بدون این تجربه، بچه‌ها نمی‌توانند به خوبی از پس محاسبات تقریبی بر بیایند. در حوزه‌ی اعداد و عملیات، به این جنس از فکر ریاضی که مستقل از مقدار اعداد، بر ویژگی‌های عملگر متمرکز می‌شود، عموماً تفکر جبری گفته می‌شود.
- اگر واژه‌های تخمین و تقریب را به ترتیب معادلِ estimation و approximation در نظر بگیریم، بهتر است به جای «محاسبات تقریبی» از «تخمین در محاسبه» استفاده کنیم. در این متن با توجه به جاافتاده بودنِ عبارت «محاسبات تقریبی» از همین ترکیب استفاده شده است. ↩︎
- «دقت کمتر از …» اصطلاحی‌ست که کتاب درسی در سال‌های دبستان استفاده کرده است. ↩︎
- چمن‌آرا به درستی در مقاله‌هایش اشاره کرده به این که قابل‌قبول بودنِ حسابِ تقریبی، هم به موقعیتِ واقعیِ مسئله مربوط است و هم به میزان بزرگی اعداد. در واقع او یادآوری می‌کند که اساساً بستر کار مجردی مانند تمرین‌های کتاب، برای کار روی تقریب و تخمین چندان مناسب نیست. با توجه به این که بنده از زاویه‌ی دیگری می‌خواستم موضوع را پیش بکشم، تمرین را به سیاق خودِ کتاب نوشتم و فقط به تغییر دادنِ عددها بسنده کردم. ↩︎
دیدگاهتان را بنویسید